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5.7: Transformadas Discretas de Fourier (DFT)

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    85360
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    Objetivos de aprendizaje
    • La transformada de Fourier se puede calcular en tiempo discreto a pesar de las complicaciones causadas por una señal finita y una frecuencia continua.

    La transformada de Fourier de tiempo discreto (y también la transformada de tiempo continuo) se puede evaluar cuando tenemos una expresión analítica para la señal. Supongamos que solo tenemos una señal, como la señal de voz utilizada en el capítulo anterior, para la cual no hay fórmula. ¿Cómo entonces computarías el espectro? Por ejemplo, ¿cómo computamos un espectrograma como el que se muestra en el ejemplo de señal de voz? La Transformada Discreta de Fourier (DFT) permite el cálculo de espectros a partir de datos discretos de tiempo. Mientras que en tiempo discreto podemos calcular exactamente los espectros, para las señales analógicas no existe un cálculo de espectro exacto similar. Para los espectros de señales analógicas, el uso debe construir dispositivos especiales, que en la mayoría de los casos resultan consistir en convertidores A/D y cálculos de tiempo discreto. Ciertamente, el análisis espectral de tiempo discreto es más flexible que el análisis espectral de tiempo continuo.

    La fórmula para el DTFT es una suma, que conceptualmente se puede calcular fácilmente salvo por dos números.

    • Duración de la señal. La suma se extiende sobre la duración de la señal, que debe ser finita para calcular el espectro de la señal. Es sumamente difícil almacenar una señal de longitud infinita en cualquier caso, así que asumiremos que la señal se extiende sobre [0, N-1]
    • Frecuencia continua. Más sutil que el problema de la duración de la señal es el hecho de que la variable de frecuencia es continua: Puede que solo necesite cubrir un período, como [-½,½] o [0,1], pero la fórmula DTFT tal como está requiere evaluar los espectros en todas las frecuencias dentro de un período. Calculemos el espectro a pocas frecuencias; las más obvias son las equidistantes

    \[f=\frac{k}{K},k\in \left \{ 0,...,K-1 \right \} \nonumber \]

    Definimos así que la transformada discreta de Fourier (DFT) es

    \[\forall k,k\in \left \{ 0,...,K-1 \right \}:\left ( S(k)=\sum_{n=0}^{N-1}s(n)e^{-\frac{i2\pi nk}{K}} \right ) \nonumber \]

    Aquí

    \[S(k)=S(e^{i2\pi \frac{k}{K}}) \nonumber \]

    Podemos calcular el espectro a tantas frecuencias igualmente espaciadas como queramos. Tenga en cuenta que puede pensar en esta elección motivada computacionalmente como muestreo del espectro; más sobre esta interpretación más adelante. El problema ahora es cuántas frecuencias son suficientes para capturar cómo cambia el espectro con la frecuencia. Una forma de responder a esta pregunta es determinar una fórmula de transformada de Fourier discreta inversa: dado S (k), k= {0,... , K-1} cómo encontramos s (n), n= {0,... , N-1}? Presumiblemente, la fórmula será de la forma

    \[s(n)=\sum_{k=0}^{K-1}S(K)e^{\frac{i2\pi nk}{K}} \nonumber \]

    Sustituyendo la fórmula DFT en este prototipo de transformación inversa produce

    \[s(n)=\sum_{k=0}^{K-1}\sum_{m=0}^{N-1}s(m)e^{-\left ( i \frac{2\pi mk}{K}\right )} e^{i\frac{2\pi nk}{K}} \nonumber \]

    Tenga en cuenta que la relación de ortogonalidad que usamos tan a menudo tiene ahora un carácter diferente.

    \[\sum_{k=0}^{K-1}e^{-\left ( i \frac{2\pi mk}{K}\right )} e^{i\frac{2\pi nk}{K}} =\begin{cases} K & \text{ if }m=\left \{ n,n\pm K,n\pm 2K,... \right \} \\ 0 & \text{ if } otherwise \end{cases} \nonumber \]

    Obtenemos un valor distinto de cero siempre que los dos índices difieran en múltiplos de K. Podemos expresar este resultado como

    \[K\sum_{l}\delta (m-n-lK) \nonumber \]

    Así, nuestra fórmula se convierte en

    \[s(n)=\sum_{m=0}^{N-1}s(m)K\sum_{l=-\infty }^{\infty }\delta (m-n-lK) \nonumber \]

    Los enteros n y m van ambos sobre {0,... , N-1}. Para tener una transformación inversa, necesitamos que la suma sea una muestra unitaria única para m, n en este rango. Si no lo hiciera, entonces s (n) equivaldría a una suma de valores, y no tendríamos una transformada válida: ¡Una vez entrando al dominio de la frecuencia, no podríamos volver sin ambigüedades! Claramente, el término l=0 siempre proporciona una muestra unitaria (pronto nos encargaremos del factor K). Si evaluamos el espectro a frecuencias menores que la duración de la señal, también aparecerá el término correspondiente a m=N+k para algunos valores de m, n= {0,... , N-1}. Esta situación significa que nuestra transformación prototipo es igual a s (n) +s (n+k) para algunos valores de n. La única manera de eliminar este problema es requerir

    \[K\geq N \nonumber \]

    Debemos tener al menos tantas muestras de frecuencia como la duración de la señal. De esta manera, podemos regresar desde el dominio de frecuencia que ingresamos a través del DFT.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Cuando tenemos menos muestras de frecuencia que la duración de la señal, algunos valores de señal de tiempo discreto son iguales a la suma de los valores de señal originales. Dada la interpretación muestral del espectro, caracterizar este efecto de una manera diferente.

    Solución

    Esta situación equivale a aliasing en el dominio del tiempo.

    Otra forma de entender este requisito es utilizar la teoría de ecuaciones lineales. Si escribimos la expresión para el DFT como un conjunto de ecuaciones lineales,

    \[s(0)+s(1)+...+s(N-1)=S(0) \nonumber \]

    \[s(0)+s(1)e^{(-i)\frac{2\pi }{K}}+...+s(N-1)e^{(-i)\frac{2\pi (N-1)}{K}}=S(1) \nonumber \]

    \[\vdots \nonumber \]

    \[s(0)+s(1)e^{(-i)\frac{2\pi (K-1)}{K}}+...+s(N-1)e^{(-i)\frac{2\pi (N-1)(K-1)}{K}}=S(K-1) \nonumber \]

    tenemos K ecuaciones en N incógnitas si queremos encontrar la señal de su espectro muestreado. Este requisito es imposible de cumplir si K<N; debemos tener\[K\geq N \nonumber \]

    Nuestra relación de ortogonalidad esencialmente dice que si tenemos un número suficiente de ecuaciones (muestras de frecuencia), el conjunto resultante de ecuaciones efectivamente puede resolverse.

    Por convención, el número de valores de frecuencia DFT K se elige para igualar la duración de la señal N. El par de transformada discreta de Fourier consiste en un par de transformada discreta de Fourier

    \[S(k)=\sum_{n=0}^{N-1}s(n)e^{-\left ( i\frac{2\pi nk}{N} \right )} \nonumber \]

    \[s(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}S(k)e^{\frac{i2\pi nk}{N}} \nonumber \]


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