5.13: Sistemas discretos de tiempo en el dominio de la frecuencia
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- Al igual que con los sistemas lineales analógicos, necesitamos encontrar la respuesta de frecuencia de los sistemas de tiempo discreto.
Al igual que con los sistemas lineales analógicos, necesitamos encontrar la respuesta de frecuencia de los sistemas de tiempo discreto. Utilizamos impedancias para derivar directamente de la estructura del circuito la respuesta de frecuencia. La única estructura que tenemos hasta ahora para un sistema de tiempo discreto es la ecuación de diferencia. Procedemos como cuando usamos impedancias: dejar que la entrada sea una señal exponencial compleja. Cuando tenemos un sistema lineal, invariante de desplazamiento, la salida también debe ser un exponencial complejo de la misma frecuencia, cambiado en amplitud y fase. Estos cambios de amplitud y fase comprenden la respuesta de frecuencia que buscamos. La señal de entrada exponencial compleja es
\[x(n)=Xe^{i2\pi fn} \nonumber \]
Tenga en cuenta que esta entrada se produce para todos los valores de n. No hay necesidad de preocuparse por las condiciones iniciales aquí. Supongamos que la salida tiene una forma similar:
\[y(n)=Ye^{i2\pi fn} \nonumber \]
Conectando estas señales en la ecuación de diferencia fundamental, tenemos
\[Ye^{i2\pi fn}=a_{1}Ye^{i2\pi f(n-1)}+...+a_{p}Ye^{i2\pi f(n-p)}+b_{0}Xe^{i2\pi fn}+b_{1}Xe^{i2\pi f(n-1)}+...+b_{q}Xe^{i2\pi f(n-q)} \nonumber \]
La salida supuesta realmente satisface la ecuación de diferencia si la amplitud compleja de salida está relacionada con la amplitud de entrada por
\[Y=\frac{b_{0}+b_{1}e^{-(i2\pi f)}+...+b_{q}e^{-(i2\pi qf)}}{1-a_{1}e^{-(i2\pi f)-...-a_{p}e^{-(i2\pi pf)}}}X \nonumber \]
Esta relación corresponde a la respuesta de frecuencia del sistema o, por otro nombre, a su función de transferencia. Encontramos que cualquier sistema de tiempo discreto definido por una ecuación de diferencia tiene una función de transferencia dada por
\[H(e^{i2\pi f})=\frac{b_{0}+b_{1}e^{-(i2\pi f)}+...+b_{q}e^{-(i2\pi qf)}}{1-a_{1}e^{-(i2\pi f)-...-a_{p}e^{-(i2\pi pf)}}} \nonumber \]
Además, debido a que cualquier señal de tiempo discreto puede expresarse como una superposición de señales exponenciales complejas y debido a que los sistemas lineales de tiempo discreto obedecen al Principio de Superposición, la función de transferencia relaciona la transformada de Fourier de tiempo discreto de la salida del sistema con la entrada de Fourier transformar.
\[Y(e^{i2\pi f})=X(e^{i2\pi f})H(e^{i2\pi f}) \nonumber \]
La respuesta de frecuencia del sistema IIR simple
\[H(e^{i2\pi f})=\frac{b}{1-ae^{-(i2\pi f)}} \nonumber \]
Esta transformada de Fourier ocurrió en un ejemplo anterior; el espectro de señal exponencial retrata la magnitud y fase de esta función de transferencia. Cuando el coeficiente de filtro a es positivo, tenemos un filtro de paso bajo; negativo a da como resultado un filtro de paso alto. Cuanto mayor sea el coeficiente de magnitud, más pronunciado será el filtrado de paso bajo o paso alto.
El filtro de boxcar de longitud q tiene la respuesta de frecuencia
\[H(e^{i2\pi f})=\frac{1}{q}\sum_{m=0}^{q-1}e^{-(i2\pi fm)} \nonumber \]
Esta expresión equivale a la transformada de Fourier de la señal del vagón de carga.
Allí encontramos que esta respuesta de frecuencia tiene una magnitud igual al valor absoluto de dsinc (πf). Consulte la respuesta de frecuencia del filtro de longitud 10. Vemos que los filtros de boxcar —longitud- q medias de señal— tienen un comportamiento de paso bajo, teniendo una frecuencia de corte de 1/q.
Supongamos que multiplicamos los coeficientes del filtro del vagón por una sinusoide:
\[b_{m}=\frac{1}{q}\cos (2\pi f_{0}m) \nonumber \]
Utilice las propiedades de la transformada de Fourier para determinar la función de transferencia. ¿Cómo caracterizarías este sistema: ¿Actúa como un filtro? Si es así, ¿qué tipo de filtro y cómo controlas sus características con los coeficientes del filtro?
Solución
Ahora actúa como un filtro de paso de banda con una frecuencia central de f 0 y un ancho de banda igual al doble del filtro de paso bajo original.
Estos ejemplos ilustran el punto de que los sistemas descritos (e implementados) por ecuaciones de diferencia sirven como filtros para señales de tiempo discreto. El orden del filtro viene dado por el número p de coeficientes denominador en la función de transferencia (si el sistema es IIR) o por el número q de coeficientes del numerador si el filtro es FIR. Cuando la función de transferencia de un sistema tiene ambos términos, el sistema suele ser IIR, y su orden es igual a p independientemente de q. Al seleccionar los coeficientes y el tipo de filtro, se pueden diseñar filtros que tengan prácticamente cualquier respuesta de frecuencia deseada. Esta flexibilidad de diseño no se puede encontrar en sistemas analógicos. En la siguiente sección, detallamos cómo las señales analógicas pueden ser filtradas por computadoras, ofreciendo un rango mucho mayor de posibilidades de filtrado de lo que es posible con los circuitos.