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5.15: Eficiencia de Frecuencia - Filtrado de Dominio

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    85369
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    Objetivos de aprendizaje
    • Compara la eficiencia del filtrado de dominio de frecuencia y dominio de tiempo.

    Para determinar para qué duraciones de señal y filtro sería la más eficiente una implementación en el dominio de tiempo o frecuencia, solo necesitamos contar los cálculos requeridos por cada uno. Para el enfoque del dominio del tiempo, diferencia-ecuación, necesitamos

    \[(N_{X}+q)(2(q)+1) \nonumber \]

    El enfoque de dominio de frecuencia requiere tres transformadas de Fourier, cada una de las cuales requiere

    \[\frac{5K}{2}(\log_{2}K) \nonumber \]

    cálculos para una longitud- K FFT, y la multiplicación de dos espectros (6K cálculos). La longitud determinada por la duración de la señal de salida debe ser al menos

    \[N_{x}+q \nonumber \]

    Por lo tanto, debemos comparar

    \[(N_{x}+q)(2q+1)\leftrightarrow 6(N_{x}+q)+5(N_{x}+q)\log _{2}(N_{x}+q) \nonumber \]

    La evaluación analítica exacta de esta comparación es bastante difícil (tenemos una ecuación trascendental que resolver). El conocimiento de esta comparación se obtiene mejor dividiendo entre N x + q.

    \[2q+1\leftrightarrow 6+5\log _{2}(N_{x}+q) \nonumber \]

    Con esta manipulación, estamos evaluando el número de cómputos por muestra. Para cualquier valor dado del orden q del filtro, el lado derecho, el número de cálculos en el dominio de la frecuencia, excederá al izquierdo si la duración de la señal es lo suficientemente larga. Sin embargo, para duraciones de filtro mayores de aproximadamente 10, siempre que la entrada sea de al menos 10 muestras, el enfoque en el dominio de la frecuencia es más rápido siempre que la restricción de potencia de dos de FFT sea ventajosa.

    El enfoque de dominio de frecuencia aún no es viable; ¿qué haremos cuando la señal de entrada sea infinitamente larga? El escenario de la ecuación de diferencia encaja perfectamente con la estructura de filtrado digital prevista, pero hasta ahora hemos requerido que la entrada tenga una duración limitada (para que podamos calcular su transformada de Fourier). La solución a este problema es bastante simple: Seccionar la entrada en marcos, filtrar cada uno y sumar los resultados juntos. Seccionar una señal significa expresarla como una combinación lineal de longitud- N x “trozos” no superpuestos. Debido a que el filtro es lineal, filtrar una suma de términos equivale a sumar los resultados de filtrar cada término.

    \[\left ( x(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }x(n-mN_{x}) \right )\Rightarrow \left ( y(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }y(n-mN_{x}) \right ) \nonumber \]

    Como se ilustra en la Figura 5.15.1 a continuación, tenga en cuenta que cada sección filtrada tiene una duración mayor que la entrada. En consecuencia, debemos literalmente sumar las secciones filtradas juntas, no sólo toparlas juntas.

    Figura 5.15.1 La señal de entrada ruidosa se secciona en tramas de longitud 48, cada una de las cuales se filtra mediante técnicas de dominio de frecuencia. Cada sección filtrada se agrega a otras salidas que se superponen para crear la señal equivalente a haber filtrado toda la entrada. El componente sinusoidal de la señal se muestra como la línea discontinua roja.

    Las consideraciones computacionales revelan una ventaja sustancial para una implementación en el dominio de la frecuencia sobre una implementación en el dominio del tiempo. El número de cálculos para una implementación en el dominio del tiempo permanece esencialmente constante tanto si seccionamos la entrada como si no. Así, el número de cómputos para cada salida es 2 (q) +1. En el enfoque de dominio de frecuencia, el conteo de cómputos cambia porque solo necesitamos calcular la respuesta de frecuencia del filtro H (k) una vez, lo que equivale a una sobrecarga fija. Solo necesitamos calcular dos DFT y multiplicarlos para filtrar una sección. Si N x denota la longitud de una sección, el número de cálculos para una sección asciende a:

    \[(N_{x}+q)\log _{2}(N_{x}+q)+6(N_{x}+q) \nonumber \]

    Además, debemos sumar las salidas filtradas juntas; el número de términos a sumar corresponde al exceso de duración de la salida en comparación con la entrada (q). Por lo tanto, el enfoque de dominio de frecuencia requiere:

    \[\log _{2}(N_{x}+q)+6+\frac{q}{N_{x}+q} \nonumber \]

    cálculos por valor de salida. Incluso para órdenes de filtro modestas, el enfoque de dominio de frecuencia es mucho más rápido.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Mostrar que a medida que aumenta la longitud de la sección, el enfoque de dominio de frecuencia se vuelve cada vez más eficiente

    Solución

    Que N denote la duración total de la entrada. La implementación en el dominio del tiempo requiere un total de N (2q+1) cálculos, o 2 (q) +1 cálculos por valor de entrada. En el dominio de frecuencia, dividimos la entrada en N/ N x secciones, cada una de las cuales requiere

    \[\log _{2}(N_{x}+q)+6+\frac{q}{N_{x}+q} \nonumber \]

    por entrada en la sección. Debido a que dividimos de nuevo por N x para encontrar el número de cálculos por valor de entrada en toda la entrada, esta cantidad disminuye a medida que N x aumenta. Para la implementación en el dominio del tiempo, se mantiene constante.

    Tenga en cuenta que la elección de la duración de la sección es arbitraria. Una vez elegido el filtro, debemos seccionar para que la longitud FFT requerida sea precisamente una potencia de dos: Elija N x para que

    \[N_{x}+q=2^{L} \nonumber \]

    La implementación del filtro digital que se muestra en el diagrama de bloques A/D con una implementación en el dominio de la frecuencia requiere alguna gestión de señal adicional no requerida por las implementaciones en el dominio del tiempo. Conceptualmente, un filtro en tiempo real en el dominio del tiempo podría aceptar cada muestra a medida que esté disponible, calcular la ecuación de diferencia y producir el valor de salida, todo en menos que el intervalo de muestreo T S. Los enfoques de dominio de frecuencia no operan muestra por muestra, sino que operan en secciones. Filtran en tiempo real produciendo N x salidas para el mismo número de entradas más rápido que N x T S. Debido a que generalmente tardan más en producir una sección de salida que la duración del intervalo de muestreo, debemos filtrar una sección mientras aceptamos en la memoria la siguiente sección a filtrar. En programación, la operación de construir secciones mientras se computa sobre las anteriores se conoce como buffering. El almacenamiento en búfer también se puede usar en filtros de dominio de tiempo, pero no es necesario.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

    Queremos filtrar paso bajo una señal que contenga una sinusoide y una cantidad significativa de ruido. El ejemplo mostrado en la Figura muestra una porción de la forma de onda de la señal ruidosa. Si no fuera por la sinusoide superpuesta, discernir la onda sinusoidal en la señal es prácticamente imposible. Una de las principales aplicaciones de los filtros lineales es la eliminación de ruido: preservar la señal haciendo coincidir la banda de paso del filtro con el espectro de la señal y reducir en gran medida todos los demás componentes de frecuencia que puedan estar presentes en la señal ruidosa.

    Un ingeniero inteligente de Rice ha seleccionado un filtro FIR que tiene una respuesta de unidad de muestra correspondiente a una sinusoide de periodo 17:

    \[h(n)=\frac{1}{17}\left ( 1-\cos \left ( \frac{2\pi n}{17} \right ) \right ),n=\left \{ 0,...,16 \right \}\; which\; makes\; q=16 \nonumber \]

    Su respuesta de frecuencia (determinada calculando la transformada discreta de Fourier) se muestra en la Figura 5.15.2 a continuación. Para aplicar, podemos seleccionar la longitud de cada sección para que el enfoque de filtrado de dominio de frecuencia sea lo máximo eficiente: Elija la longitud de sección N x para que N x + q sea a poder de dos. Para utilizar una FFT de longitud 64, cada sección debe tener 48 muestras de largo. El filtrado con la ecuación de diferencia requeriría 33 cálculos por salida mientras que el dominio de frecuencia requiere un poco más de 16; ¡esta implementación en el dominio de frecuencia es más del doble de rápido! La Figura 5.15.1 muestra cómo funciona el filtrado en el dominio de la frecuencia.

    Figura 5.15.2 La figura muestra la respuesta unidad-muestra de un filtro Hanning de longitud 17 a la izquierda y la respuesta de frecuencia a la derecha. Este filtro funciona como un filtro de paso bajo que tiene una frecuencia de corte de aproximadamente 0.1.

    Observamos que el ruido se ha reducido drásticamente, con una sinusoide ahora claramente visible en la salida filtrada. Algo de ruido residual permanece porque los componentes de ruido dentro de la banda de paso del filtro aparecen en la salida así como en la señal.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Tenga en cuenta que cuando se compara con la componente sinusoidal de la señal de entrada, la componente sinusoidal de la salida parece estar retrasada. ¿Cuál es la fuente de este retraso? ¿Se puede quitar?

    Solución

    El retardo no es retardo computacional aquí —la gráfica muestra que el primer valor de salida está alineado con la primera entrada del filtro— aunque en sistemas reales esto es una consideración importante. Más bien, el retraso se debe al desplazamiento de fase del filtro: Una sinusoide desplazada en fase es equivalente a una retardada en el tiempo:

    \[\cos \left ( 2\pi fn-\varphi \right )=\cos \left ( 2\pi f\left ( n-\frac{\varphi }{2\pi f} \right ) \right ) \nonumber \]

    Todos los filtros tienen cambios de fase. Este retraso podría eliminarse si el filtro no introdujera ningún desplazamiento de fase. Dichos filtros no existen en forma analógica, pero los digitales pueden programarse, pero no en tiempo real. ¡Hacerlo requeriría que la salida emerja antes de que llegue la entrada!


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