3.16: Conservación de Energía en Circuitos
- Page ID
- 85552
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)- Prueba de que los circuitos conservan energía independientemente de los elementos utilizados para construirlos.
Ahora que tenemos un método formal, el método de nodo, para resolver circuitos, podemos usarlo para probar un resultado poderoso: KVL y KCL son todo lo que se requiere para demostrar que todos los circuitos conservan energía, independientemente de qué elementos se utilicen para construir el circuito.
En primer lugar, definir voltajes de nodo para todos los nodos en un circuito dado. Cualquier nodo elegido como referencia servirá. Por ejemplo, en la porción de un circuito grande representado anteriormente, definimos voltajes de nodo para los nodos a, b y c. Con estos voltajes de nodo, podemos expresar el voltaje a través de cualquier elemento en términos de ellos. Por ejemplo, la tensión a través del elemento 1 viene dada por:
\[v_{1}=e_{b}-e_{a} \nonumber \]
La potencia instantánea para el elemento 1 se convierte en:
\[v_{1}i_{1}=(e_{b}-e_{a})i_{1}=e_{b}i_{1}-e_{a}i_{1} \nonumber \]
Escribiendo el poder para los demás elementos, tenemos
\[v_{2}i_{2}=e_{c}i_{2}-e_{a}i_{2} \nonumber \]
\[v_{3}i_{3}=e_{c}i_{3}-e_{b}i_{3} \nonumber \]
Cuando sumamos los términos de potencia del elemento, descubrimos que una vez que recolectamos términos que involucran un voltaje de nodo particular, se multiplica por la suma de corrientes que salen del nodo menos la suma de corrientes que entran. Por ejemplo, para el nodo b, tenemos:
\[e_{b}(i_{3}-i_{1}) \nonumber \]
Vemos que las corrientes obedecerán a KCL que multiplican la tensión de cada nodo. En consecuencia, concluimos que la suma de potencias de los elementos debe ser igual a cero en cualquier circuito independientemente de los elementos utilizados para construir el circuito.
\[\sum_{k}v_{k}i_{k}=0 \nonumber \]
La sencillez y generalidad con la que probamos estos resultados se generaliza también a otras situaciones. En particular, señalar que las amplitudes complejas de voltajes y corrientes obedecen a KVL y KCL, respectivamente. En consecuencia, tenemos que:
\[\sum_{k}V_{k}I_{k}=0 \nonumber \]
Además, el complejo-conjugado de corrientes también satisface KCL, lo que significa que también tenemos:
\[\sum_{k}V_{k}\overline{I_{k}}=0 \nonumber \]
Y finalmente, sabemos que evaluar la parte real de una expresión es lineal. Encontrar la parte real de esta conservación de energía da el resultado de que la potencia promedio también se conserva en cualquier circuito.
\[\sum_{k}\frac{1}{2}\Re (V_{k}\overline{I_{k}})=0 \nonumber \]
Esta prueba de conservación de energía puede generalizarse de otra manera muy interesante. Todo lo que necesitamos es un conjunto de voltajes que obedezcan a KVL y un conjunto de corrientes que obedezcan a KCL. Así, para una topología de circuito dada (la forma específica en que los elementos están interconectados), los voltajes y corrientes se pueden medir en diferentes momentos y la suma de productos v-i es cero.
\[\sum_{k}v_{k}(t_{1})i_{k}(t_{2})=0 \nonumber \]
Aún más interesante es el hecho de que los elementos no importan. Podemos tomar un circuito y medir todos los voltajes. Entonces podemos hacer reemplazos elemento por elemento y, si la topología no ha cambiado, podemos medir un conjunto de corrientes. ¡La suma del producto de las tensiones y corrientes de los elementos también será cero!