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18.1: A.1- Tabla de Pares de Transformación de Laplace

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Convenciones generales:

    1. el tiempo\(t\) es un número real,\(t \geq 0\);
    2. \(s\)La variable Laplace es un número complejo con dimensión de tiempo -1;
    3. \(n\)y\(k\) son enteros positivos, reales;
    4. \(p\)y\(\sigma\) son constantes finitas, con dimensión de tiempo -1;
    5. \(t_{s}\)es una constante real, finita, con dimensión de tiempo;
    6. \(\omega\)es una constante positiva, real, finita, con dimensión de tiempo -1.
    Función del tiempo\(t\), transformada inversa de Laplace Función de la variable Laplace\(s\), transformación directa de Laplace Fuente y notas
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(f(t)=L^{-1}[F(s)]\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(F(s)=L[f(t)]\) Notación general, Sección 2.2
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(f(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} f(t) d t, \text { or } \int_{t=0^{-}}^{t=\infty} e^{-s t} f(t) d t\) Definiciones: Ecuación 2.2.5, o Ecuación 8.4.5 si\(f (t)\) implica\(\delta(t)\)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\dot{f}(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(s F(s)-f\left(0^{-}\right)\) Ecuaciones 2.2.9 y 8.6.3;\(t=0^{-}\) para CI precede a todas las entradas
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\dot{f}(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(s^{2} F(s)-s f\left(0^{-}\right)-\dot{f}\left(0^{-}\right)\) Ecuación 2.2.11, Problema 2.4
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\frac{d^{n}}{d t^{n}} f(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\ (\ begin {array} {l} s^ {n} F (s)
    -s^ {n-1} f\ left (0^ {-}\ derecha) -s^ {n-2}\ punto {f}\ izquierda (0^ {-}\ derecha) -\\ cdots-f\ izquierda (0^ {-}\ derecha) -\ cdots-f
    \ izquierda (0^ {-}\ derecha) -\ cdots-f ^ {-}
    \ derecha)\ end {array}\)    		 Ecuaciones 2.2.10 y 8.6.4 Ogata, 1998, pp. 25- 26
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\int_{\tau=-\infty}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{s} F(s)+\frac{1}{s} \int_{\tau=-\infty}^{\tau=0} f(\tau) d \tau\) Ecuación 2.4.9, derivación en la Sección 18.3; tenga en cuenta que\(-\infty<t<+\infty\)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\int_{\tau=0}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{s} F(s)\) Ecuación 2.4.10, derivación en la Sección 18.3
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\ (\ begin {alineado}
    C I (t) &=\ int_ {\ tau=0} ^ {\ tenso=t} f_ {1} (\ tau) f_ {2} (t-\ tau) d\ tau\\
    &=\ int_ {\ tau=0} ^ {\ tenso = t} f_ {1} (t-\ tau) f_ {2} (\ tau) d\ tau
    \ final {alineado}\)    		 \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(F_{1}(s) \times F_{2}(s)\) Ecuación 6.1.4, integral de convolución, derivada en la Sección 18.5
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(e^{\sigma t} f(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(F(s-\sigma)\) Ecuación 9.3.6;\(\sigma\) es cualquier constante
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(e^{p t}\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{s-p}\) Ecuación 2.2.6;\(p\) es cualquier constante
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{p}\left(e^{p t}-1\right)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{s} \frac{1}{s-p}\) Eq. (A-15);\(p\) es cualquier constante
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(f(t)=L^{-1}[F(s)]\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(F(s)=L[f(t)]\) Notación general, Sección 2.2
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(f(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} f(t) d t, \text { or } \int_{t=0^{-}}^{t=\infty} e^{-s t} f(t) d t\) Definiciones: Ecuación 2.2.5, o Ecuación 8.4.5 si\(f(t)\) implica\(\delta (t)\)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\delta(t) \equiv \delta(t-0)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(1\) Ecuación 8.4.6; función delta Dirac de la Ecuación 8.4.1
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(H\left(t-t_{s}\right)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{e^{-s t_{s}}}{s}\) Ecuación 2.4.4; etapa unitaria general definida en la Ecuación 2.4.2
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(H(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{s}\) Ecuación 2.4.5; Función de paso de unidad de Heaviside definida en la Ecuación 2.4.1
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(f\left(t-t_{s}\right) H\left(t-t_{s}\right)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(e^{-s t_{s}} F(s)\) Ogata, 1998, p. 18; función traducida del tiempo
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(t\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{s^{2}}\) Ecuación (A-17)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(t e^{\sigma t}\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{(s-\sigma)^{2}}\) Ecuaciones (A-17) y 9.3.6;\(\sigma\) es cualquier constante
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\sin \omega t\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\) Ecuación 2.4.7;\(\omega\) es una constante real positiva
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\cos \omega t\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\) Ecuación 2.4.8;\(\omega\) es una constante real positiva
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{\omega^{2}}(1-\cos \omega t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{1}{s\left(s^{2}+\omega^{2}\right)}\) Ecuación (A-16);\(\omega\) es una constante real positiva
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} e^{-\zeta \omega_{n} t} \sin \omega_{d} t\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{\omega_{n}^{2}}{\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}}\) Problema 9.12;\(|\zeta|<1\),\(\omega_{d}^{2}=\omega_{n}^{2}\left(1-\zeta^{2}\right)>0\)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\ (\ begin {array} {l}
    1-e^ {-\ zeta\ omega_ {n} t}\ veces\
    \ izquierda (\ cos\ omega_ {d} t+\ frac {\ zeta\ omega_ {n}} {\ omega_ {d}\ sin omega_ a_ {d} t\ derecha)
    \ end {array}\)    		 \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{\omega_{n}^{2}}{s\left[\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}\right]}\) Problema 9.12;\(|\zeta|<1\),\(\omega_{d}^{2}=\omega_{n}^{2}\left(1-\zeta^{2}\right)>0\)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\ (\ begin {array} {l}
    e^ {-\ zeta\ omega_ {n} t}\ veces
    \\ izquierda (\ omega_ {d}\ cos\ omega_ {d} t-\ zeta\ omega_ {n}\ sin\ omega_ {d} t derecha)
    \ end {array}\)    		 \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{s \omega_{d}}{\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}}\) Problema 9.15;\(|\zeta|<1\),\(\omega_{d}^{2}=\omega_{n}^{2}\left(1-\zeta^{2}\right)>0\)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(2|C| e^{\sigma t} \cos (\omega t+\angle C)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{C}{s-p}+\frac{\bar{C}}{s-\bar{p}}\) Ecuación 16.1.12;\(C\) es compleja\(p=\sigma+j \omega\),\(\sigma\) y\(\omega\) son reales,\(\omega>0\)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\sum_{k=1}^{n} \frac{N u m\left(p_{k}\right)}{\operatorname{Den}^{\prime}\left(p_{k}\right)} e^{p_{k} t}\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\frac{\text {Num}(s)}{\operatorname{Den}(s)}\) Eq. (A-7), Sección 18.2 para definiciones, derivación y restricciones
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(f(t)=L^{-1}[F(s)]\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(F(s)=L[f(t)]\) Notación general, Sección 2.2
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(f(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} f(t) d t, \text { or } \int_{t=0^{-}}^{t=\infty} e^{-s t} f(t) d t\) Definiciones: Ecuación 2.2.5, o Ecuación 8.4.5 si\(f(t)\) implica\(\delta (t)\)
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\lim _{t \rightarrow 0^{+} \text {from } t>0} f(t) \equiv f\left(0^{+}\right)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\lim _{s \rightarrow \infty}[s F(s)]\) Teorema del valor inicial: Ecuación 8.6.1 y Ecuación 8.6.6 en la Sección 8.6
    \ (t\), transformada inversa de Laplace” class="lt-eng-7740">\(\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)\) \ (s\), transformación de Laplace hacia adelante” class="lt-eng-7740">\(\lim _{s \rightarrow 0}[s F(s)]\) Teorema del valor final: Ecuación 15.2.13 y Sección 15.3, válido solo si\(\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)\) es un valor finito, constante

    Cabe destacar que el software simbólico de MATLAB, que se introduce en el problema 1.6 de la tarea, a veces puede ser útil para encontrar transformaciones de Laplace hacia adelante e inversas aplicando, respectivamente, los comandos laplace e ilaplace. Los siguientes son dos ejemplos relativamente simples que no aparecen explícitamente en la tabla de pares de transformación. En estos ejemplos, MATLAB encuentra la transformación\(L[\sinh (a t)]= a /\left(s^{2}-a^{2}\right)\) directa y la transformada inversa\(L^{-1}\left[(s+a) /\left[(s+a)^{2}+\omega^{2}\right]\right]=e^{-a t} \cos \omega t\).

    >> syms s t a w

    >> ft=sinh (a*t)

    ft =

    sinh (a*t)

    >> lft=Laplace (ft, t, s)

    Lft =

    a/ (s^2-a^2)

    >> bonita (Lft)

    a

    —

    2 2

    s - a

    >> Fs =( s+a)/((s+a) ^2+w^2)

    Fs =

    (s+a)/((s+a) ^2+w^2)

    >> FFS=ILAplace (Fs, s, t)

    FFs =

    exp (-a*t) *cos (w*t)

    Para funciones de tiempo\(t\) o funciones de la variable de Laplace s que son más complicadas que las de los ejemplos anteriores, MATLAB podría producir soluciones que son correctas, pero que se expresan en una forma poco familiar, o en una forma larga y poco manejo que debe simplificarse por el tacto humano para que sean útiles .

    1 Tablas mucho más extensas de pares de transformaciones Laplace están disponibles en muchas referencias, por ejemplo, Cannon, 1967, Apéndice J.

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