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6.1: Circuitos eléctricos y leyes de Kirchoff

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    Conservación de Carga y KCL

    Para empezar, considere la ley de Conservación de Cargos:

    \(\ \oiint \vec{J} \cdot d \vec{a}=\frac{d}{d t} \int_{\mathrm{vol}} q d v=0\)

    Esto supone, por supuesto, que no hay acumulación de carga en ninguna parte del sistema. Esta no es una suposición maravillosa para ningún sistema con placas de condensadores, pero si se considera que los condensadores son elementos de circuito para que ambas placas de un condensador sean parte de cualquier elemento dado el lado derecho de esta expresión realmente es cero.

    Thsn, si observamos que la corriente es la integral de la densidad de corriente: Sobre alguna área, una fracción de toda el área alrededor de un nodo:

    \(\ i_{k}=\iint_{A_{k}} \vec{J} \cdot d \vec{a}\)

    entonces tenemos:

    \(\ \sum_{k} i_{k}=0\)

    Ley de Faraday

    \(\ \oint \vec{E} \cdot d \vec{\ell}=-\frac{d}{d t} \iint \vec{B} \cdot d \vec{a}\)

    La integral de la izquierda puede tomarse como una serie de subintegrales, cada una denotada por una integral fraccionaria discreta:

    \(\ v_{k}=\int_{a_{k}}^{b_{k}} \vec{E} \cdot d \ell\)

    Si asumimos que no hay vínculos de flujo sustantivos entre los elementos del circuito:

    \(\ \iint \vec{B}=0\)

    entonces tenemos KVL:

    \(\ \sum_{k} v_{k}=0\)

    Ley de Faraday

    \(\ \oint \vec{E} \cdot d \vec{\ell}=-\frac{d}{d t} \iint \vec{B} \cdot d \vec{a}\)

    La integral de la izquierda puede tomarse como una serie de subintegrales, cada una denotada por una integral fraccionaria discreta:

    \(\ v_{k}=\int_{a_{k}}^{b_{k}} \vec{E} \cdot d \ell\)

    Si asumimos que no hay vínculos de flujo sustantivos entre los elementos del circuito:

    \(\ \iint \vec{B}=0\)

    entonces tenemos KVL:

    \(\ \sum_{k} v_{k}=0\)

    Ley de Ohm

    En este punto probablemente sea apropiado señalar que la Ley de Ohm se puede utilizar para derivar la relación constitutiva para una resistencia. Supongamos que tenemos un elemento conductor similar al sólido rectangular mostrado en la Figura 1. Supongamos que la corriente está confinada en este elemento y fluye perpendicular al extremo plano que se muestra en la figura. La densidad de corriente es

    \(\ J_{x}=\frac{I}{h w}\)

    donde I es a la corriente total y h y w son altura y anchura del conductor, respectivamente. El campo eléctrico a lo largo de la longitud del elemento es:

    \(\ E_{x}=\frac{J_{x}}{\sigma}\)

    donde\(\ \sigma\) está la conductividad eléctrica del material. El voltaje desarrollado es:

    \(\ v_{k}=\int E_{x} d \ell=\frac{J_{x}}{\sigma} l\)

    Lo que nos lleva a una expresión de resistencia de elementos:

    \(\ R=\frac{v}{I}=\frac{l}{h w \sigma}\)

    Screen Shot 2021-07-21 en 4.09.26 PM.pngFigura 1: Elemento de circuito simple

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