Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.1: Conducción simple

  • Page ID
    86371
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Nuestros estudios iniciales serán más o menos una revisión de temas en electricidad que quizás hayas visto antes en física. Sin embargo, si la experiencia es alguna guía, no hay gran daño en repasar este material; parece que para muchos estudiantes, todo el concepto de cómo funciona realmente la electricidad es un poco confuso. Teniendo en cuenta que uno de estos días esperas que te llamen ingeniero eléctrico, ¡esto incluso podría ser algo bueno de saber!

    La mayoría de las “leyes” de cómo se comporta la electricidad son en realidad solo representaciones matemáticas de una serie de observaciones empíricas, basadas en algunas suposiciones y conjeturas que se hicieron en un intento de llevar las “leyes” a un todo coherente. Los primeros investigadores (Faraday, Gauss, Coulomb, Henry etc.,... todos esos tipos) determinaron ciertas cosas sobre esta extraña cosa “invisible” llamada electricidad. De hecho, el electrón en sí solo fue descubierto hace poco más de 100 años. Incluso antes de que se observara el electrón mismo, la gente sabía que había dos tipos de carga eléctrica, que se llamaban positiva y negativa. Al igual que las cargas exhiben una fuerza repulsiva entre ellas y las cargas opuestas se atraen entre sí. Esta fuerza es proporcional al producto del valor absoluto de carga positiva y negativa, y varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellas. Diferentes portadores de carga tienen diferente masa, algunos son muy ligeros y otros son significativamente más pesados. Las cargas eléctricas pueden experimentar fuerzas y moverse. Dado que la fuerza por distancia equivale al trabajo, se tuvo que describir todo un sistema de energía (tanto potencial como cinético) y pérdida de energía. Esto ha llevado a nuestro sistema actual de electrostática y electrodinámica, que no revisaremos ahora sino que mencionaremos en el camino a medida que se necesiten las cosas.

    Solo para asegurarnos de que todos estén en pie de igualdad, sin embargo, definamos algunas cantidades ahora. Entonces veremos cómo interactúan entre sí a medida que avanzamos.

    La carga total en alguna región está definida por el símbolo\(Q\) y tiene unidades de Coulombs. La unidad fundamental de carga (la de un electrón o un protón) está simbolizada ya sea por un poco\(q\) o por\(e\). Ya que usaremos\(e\) para otras cosas, en este curso vamos a tratar de seguir con\(q\). La carga de un electrón,\(q\), tiene un valor de\(1.6 \times 10^{-19}\) Coulombs.

    Dado que la carga se puede distribuir por toda una región con concentraciones variables, también hablaremos de la densidad de carga,\(\rho (\nu)\), que cuenta con unidades de\(\frac{\mathrm{Coulombs}}{\mathrm{cm}^3}\). (En este libro, utilizaremos un sistema MKS modificado de unidades. De acuerdo con la mayoría de los trabajadores en el campo de los dispositivos de estado sólido, el volumen generalmente se expresará como centímetros cúbicos, en lugar de metros cúbicos: ¡un metro cúbico de silicio es demasiado!) En la mayoría de los casos, la densidad de carga no es uniforme sino que es una función de dónde nos encontramos en el espacio. Así, cuando hemos\(\rho (\nu)\) distribuido a lo largo de algún volumen\(V\), la ecuación\[Q = \int \rho (\nu) \ d \nu \nonumber \] describe la carga total en ese volumen.

    Sabemos que cuando aplicamos un campo eléctrico a una carga se ejerce una fuerza sobre ella, y que si la carga es capaz de moverse lo hará. El movimiento de carga da lugar a una corriente eléctrica, a la que llamamos\(I\). La corriente es una medida de cuánta carga está pasando un punto dado por unidad de tiempo\( \left( \frac{\mathrm{Coulombs}}{\mathrm{second}} \right)\).

    Será útil si tenemos algún tipo de modelo de cómo fluye la electricidad en un conductor. Hay varios enfoques que uno puede tomar, algunos más intuitivos que otros. El que veremos, aunque no es correcto en el sentido más estricto, todavía da una muy buena imagen de cómo funciona la conducción eléctrica, y está perfectamente bien para usar en una variedad de situaciones. En la teoría de conducción Drude, la hipótesis inicial consiste en un sólido, que contiene cargas móviles que son libres de moverse bajo la influencia de un campo eléctrico aplicado. También hay cargas fijas de polaridad opuestas a la de las cargas móviles, de manera que en todas partes dentro del sólido, la densidad de carga neta es cero. (Esta hipótesis se basa en el modelo del átomo, con un núcleo cargado positivamente y electrones cargados negativamente que lo rodean. En un sólido, los átomos se fijan en posición en la red, pero se supone que algunos de los electrones pueden liberarse de su átomo “huésped” y moverse a otros lugares dentro del sólido.) En nuestro modelo, escojamos la polaridad de los cargos móviles para que sean positivos; este no suele ser el caso, pero podemos evitar muchos “menos unos” de esta manera, y tener una mejor oportunidad de terminar con la respuesta correcta al final.

    Una caja contiene varias bolas, cada una etiquetada con un signo más, y un número igual de signos menos flotando libremente alrededor.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Modelo de un conductor.

    Como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\), el modelo del conductor consiste en una serie de cargas positivas móviles (representadas por las bolas con el signo “+” en ellas) y un número igual de cargas negativas fijas (representadas por el signo “-” desnudo). En cifras posteriores, dejaremos de lado la carga fija, ya que no puede contribuir de ninguna manera al proceso de conducción, pero hay que tener en cuenta que está ahí, y que la carga neta total es cero dentro del material. Cada uno de los operadores de carga móvil tiene una masa\(m\),, y una cantidad de carga,\(q\).

    La caja de la Figura 1 tiene un potencial aplicado a través de ella, con el cable positivo unido al lado de la caja más cercano al espectador y el cable negativo unido al lado más alejado. Un campo eléctrico E apunta hacia el lado más alejado de la caja.
    Figura\(\PageIndex{2}\): Aplicar un potencial a un conductor.

    Para tener alguna conducción, tenemos que aplicar un potencial o voltaje a través de la muestra (Figura\(\PageIndex{2}\)). Esto lo hacemos con una batería, lo que crea una diferencia de potencial\(V\),, entre un extremo de la muestra y el otro. Haremos la suposición más sencilla de que podamos, y decir que el voltaje,\(V\), da lugar a un campo eléctrico uniforme dentro de la muestra. La magnitud del campo eléctrico viene dada simplemente por\[E = \frac{V}{L} \nonumber \] dónde\(L\) está la longitud de la muestra, y\(V\) es el voltaje que se coloca a través de ella. (En verdad, deberíamos estar mostrando así\(E\) como fuerzas posteriores, etc. como vectores en nuestras ecuaciones, pero como su dirección será obvia e inequívoca, mantengamos las cosas simples, y solo escribiéndolas como escalares). El potencial eléctrico, o voltaje, es solo una medida del cambio en la energía potencial por unidad de carga que va de un lugar a otro. Dado que la energía, o el trabajo es simplemente fuerza tiempos distancia, si dividimos la energía por unidad de carga por la distancia sobre la que existe ese potencial, terminaremos con fuerza por unidad de carga, o campo eléctrico,\(E\). Si no estás seguro de lo que acabas de leer, escríbalo como ecuaciones, y mira que así es.

    El campo eléctrico ejercerá una fuerza sobre las cargas móviles (y las fijas también, para el caso, pero como no pueden ir a ninguna parte, no les pasa nada). La fuerza se da simplemente como el producto de la intensidad del campo eléctrico multiplicada por la carga:\[F = qE \nonumber \]

    La fuerza actúa sobre las cargas y hace que se aceleren según las ecuaciones de movimiento de Newton:\[\begin{array}{l} F &= \ m \dfrac{dv}{dt} \\ &= \ qE \end{array} \nonumber \] o\[\frac{d}{dt} v(t) = \frac{qE}{m} \nonumber \]

    Así, la velocidad de una partícula sin velocidad inicial aumentará linealmente con el tiempo como:\[v(t) = \frac{qE}{m} t \nonumber \] La velocidad de aceleración es proporcional a la intensidad del campo eléctrico, e inversamente proporcional a la masa de la partícula. Sin embargo, la partícula no puede seguir acelerándose para siempre. Ya que se encuentra dentro de un sólido, tarde o temprano chocará con otro portador, o quizás con uno de los átomos fijos dentro del sólido. Supondremos que la colisión es completamente inelástica, y que después de una colisión, la partícula llega a un alto, sólo para ser acelerada nuevamente por el campo eléctrico. Si tuviéramos que hacer una gráfica de la velocidad de la partícula en función del tiempo, podría parecerse a Figura\(\PageIndex{3}\).

    Gráfico de velocidad vs tiempo para un portador de carga. La velocidad comienza en cero, aumenta linealmente con una pendiente de Qe/m por algún intervalo de tiempo arbitrario hasta que vuelve a caer a cero, y repite este proceso.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Velocidad en función del tiempo para el portador de carga

    Si bien la partícula alcanza diversas velocidades, dependiendo de cuánto tiempo haya entre colisiones, habrá alguna velocidad promedio\(\bar{v}\), que dependerá de los detalles del proceso de colisión. Definamos un tiempo de dispersión\(\tau_{s}\) que nos dará esa velocidad media cuando la multipliquemos por la aceleración de la partícula. Es decir,\[\bar{v} = \frac{q E \tau_{s}}{m} \nonumber \] o\[\tau_{s} = \frac{m \bar{v}}{qE} \nonumber \]

    Ahora echemos un vistazo a solo una pequeña sección del conductor (Figura\(\PageIndex{4}\)). Tendrá la sección transversal de la muestra,\(A\), pero sólo será\(\bar{v} \Delta t\) larga, donde solo\(\Delta (t)\) queda algún intervalo de tiempo arbitrario.

    Una sección rectangular en forma de prisma del conductor de la Figura 2 tiene cargas positivas que se desplazan hacia el lado del prisma más alejado del espectador. El prisma tiene un área transversal de A, y una profundidad de la velocidad de carga promedio por Delta t.
    Figura\(\PageIndex{4}\): Sección del conductor

    \(\Delta (t)\)Pasado un tiempo, todas las cargas dentro de la caja la habrán dejado, ya que todas se mueven con la misma velocidad promedio\(\bar{v}\). Si la densidad de los portadores de carga en el conductor es\(n\) por unidad de volumen, entonces el número de portadores\(N\) dentro de nuestra cajita es solo\(n\) multiplicado por el volumen de la caja,\(\bar{v} \Delta (t) A\). \[N = n \bar{v} \Delta (t) A \nonumber \]

    Así la carga total\(Q\) que sale de la caja a tiempo\(\Delta (t)\) es justa\(qN\). El flujo de corriente\(I\),, es solo la cantidad de carga que fluye fuera de la caja por unidad de tiempo:\[\begin{array}{l} I &= \ \dfrac{q n v \Delta(t) A}{\Delta (t)} \\ &= \ qn \bar{v} A \\ &= \ \dfrac{q_{2} n \tau_{s} EA}{m} \\ &= \ \dfrac{Q}{\Delta (t)} \end{array} \nonumber \]

    Ahora tenemos dos opciones. Podemos mirar nuestro resultado desde el punto de vista de la cantidad de campo, en cuyo caso nos interesará la densidad de corriente\(J\), que es solo la corriente,\(I\), dividida por el área transversal:\[\begin{array}{l} J &= \ \dfrac{I}{A} \\ &= \ \dfrac{q^{2} n \tau_{s}}{m} E \\ &= \ \sigma E \end{array} \nonumber \]

    donde\(\sigma\) se llama la conductividad del material. Si miramos el conductor desde un punto de vista macroscópico, entonces nos interesa la relación entre el voltaje y la corriente. El voltaje es solo el campo eléctrico multiplicado por la longitud de la muestra, y la corriente es solo la densidad de corriente por su área de sección transversal. Así tenemos\[\begin{array}{l} I &= \ AJ \\ &= \ A \sigma E \\ &= \ A \sigma \dfrac{V}{L} \end{array} \nonumber \] o\[\begin{array}{l} V &= \ \dfrac{L}{\sigma A} I \\ &= \ RI \end{array} \nonumber \]

    donde\(R\) está la resistencia de la muestra. ¡Hemos descubierto la ley de Ohm!

    Nótese que Ecuación nos\(\PageIndex{13}\) dice que la resistencia de la muestra es proporcional a su longitud (cuanto más larga sea la muestra, mayor es la resistencia) e inversamente proporcional a su área de sección transversal (cuanto más gruesa sea la muestra, menor es la resistencia). La resistencia de la muestra también es inversamente proporcional a la conductividad\(\sigma\) de la muestra. En ocasiones, en lugar de conductividad, la resistividad,\(\rho\), se especifica para un material resistivo. La resistividad es simplemente la inversa de la conductividad:\[\sigma = \frac{1}{\rho} \nonumber \] Así,\[R = \frac{\rho L}{A} \nonumber \]

    Y, en un esfuerzo por la integridad, hay otra cantidad con la que podrías encontrarte, y esa es la movilidad del transportista,\(\mu\). La movilidad es solo el factor de proporcionalidad entre la velocidad promedio de la partícula y el campo eléctrico. Es decir:\[\bar{v} = \mu E \nonumber \]

    Debe verificar que las siguientes dos relaciones son correctas:\[\begin{align} \sigma &= n q \mu \\ { } \nonumber \\ \mu &= \frac{q \tau_{s}}{m} \end{align} \nonumber \] Si tomamos un conductor ordinario (tendremos que definir más adelante a qué nos referimos con eso) y lo calentamos, los átomos dentro del material comienzan a vibrar más rápido debido a la elevada temperatura, y los portadores sufren significativamente más colisiones. El tiempo medio de colisión\(\tau_{s}\) disminuye, y por lo tanto la conductividad disminuye, y la resistencia de la muestra sube.


    This page titled 1.1: Conducción simple is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by Bill Wilson.