Para ver cómo podemos hacer del silicio un material electrónico útil, tendremos que volver a su estructura cristalina. Supongamos que de alguna manera (y hablaremos de cómo se hace esto más adelante) podríamos sustituir algunos átomos de fósforo por algunos de los átomos de silicio.

Un cristal de silicio con algunos de los átomos de silicio reemplazado por fósforo. Cada átomo de fósforo posee un electrón más que un átomo de silicio, siendo el electrón extra incapaz de emparejarse con otro para formar un enlace.
Figura\(\PageIndex{1}\): Un cristal de silicio “dopado” con fósforo

Si echas un vistazo a la tabla periódica, verás que el fósforo es un elemento del grupo V, en comparación con el silicio que es un elemento del grupo IV. Lo que esto significa es que el átomo de fósforo tiene cinco electrones externos o de valencia, en lugar de los cuatro que tiene el silicio. En una red compuesta principalmente por silicio, el electrón extra asociado con el átomo de fósforo no tiene ningún electrón “de apareamiento” con el que pueda completar una concha, por lo que se deja colgando flojamente sobre el átomo de fósforo, con una energía de unión relativamente baja. De hecho, con la adición de apenas un poco de energía térmica (del calor natural o latente de la red cristalina) este electrón puede liberarse y dejarse vagar libremente alrededor del átomo de silicio. En nuestra imagen de “banda de energía”, tenemos algo así como lo que vemos en Figura\(\PageIndex{2}\). Los átomos de fósforo están representados por las copas añadidas con P' s en ellas. Son nuevos niveles de energía permitidos que se forman dentro de la “banda gap” cerca de la parte inferior de la primera banda vacía. Se encuentran lo suficientemente cerca de la banda vacía (o “conducción”) para que los electrones que contienen se exciten fácilmente hacia la banda de conducción. Allí, son libres de moverse y contribuir a la conductividad eléctrica de la muestra. Obsérvese también, sin embargo, que dado que el electrón ha salido de las proximidades del átomo de fósforo, ahora hay un protón más que electrones en el átomo, y de ahí que tenga una carga neta positiva de 1\(q\). Esto lo hemos representado poniendo un pequeño letrero de “+” en cada copa P. Obsérvese que esta carga positiva se fija en el sitio del átomo de fósforo llamado donante ya que “dona” un electrón hacia arriba en la banda de conducción, y no es libre de moverse en el cristal.

Una banda de cenefa contiene 9 electrones. Cuatro copas nuevas etiquetadas como “P” se encuentran en la banda prohibida por encima de la banda de cenefa. Un electrón de cada copa P migra a los niveles más bajos de la siguiente banda más alta, llamada banda de conducción.
Figura\(\PageIndex{2}\): Silicio dopado con fósforo

¿Cuántos átomos de fósforo necesitamos para cambiar significativamente la resistencia de nuestro silicio? Supongamos que queríamos que nuestra muestra cuadrada de 1 mm por 1 mm tuviera una resistencia de un ohmio en contraposición a más de\(60 \mathrm{~M} \Omega\). Dando la vuelta a la ecuación de resistencia obtenemos\[\begin{array}{l} \sigma &= \ \dfrac{L}{RA} \\ &= \ \dfrac{1 \ \Omega}{1 \times 0.1^{2}} \\ &= \ 100 \ \frac{\Omega^{-1}}{\mathrm{cm}} \end{array} \nonumber \]

Y de ahí (si seguimos asumiendo una movilidad electrónica de\(1000 \ \frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{volt} \cdot \mathrm{sec}}\)) obtenemos:\[\begin{array}{l} n &= \ \dfrac{\sigma}{q \mu} \\ &= \ \dfrac{100}{\left(1.6 \times 10^{-19}\right) 1000} \\ &= \ 6.25 \times 10^{17} \ \mathrm{cm}^{3} \end{array} \nonumber \]

Ahora agregar más de átomos de\(6 \times 10^{17}\) fósforo por centímetro cúbico puede parecer mucho fósforo, hasta que te das cuenta de que hay casi átomos de\(10^{24}\) silicio en un centímetro cúbico y por lo tanto solo uno de cada 1.6 millones de átomos de silicio tiene que cambiarse en un átomo de fósforo para reducir el resistencia de la muestra desde varios 10s de Megaohms hasta solo un Ohm. Este es el verdadero poder de los semiconductores. Se pueden realizar cambios dramáticos en sus propiedades eléctricas mediante la adición de cantidades tan solo diminutas de impurezas. Este proceso se llama "dopaje" del semiconductor. También es uno de los grandes retos de la industria de fabricación de semiconductores, ya que es necesario mantener fantásticos niveles de control de las impurezas en el material para predecir y controlar sus propiedades eléctricas.

Nuevamente, si este fuera el final de la historia, todavía no tendríamos calculadoras, equipos de música o videojuegos de “Agent of Doom” (o al menos serían muy grandes y engorrosos y poco confiables, porque tendrían que trabajar usando tubos de vacío!). Ahora tenemos que enfocarnos en los pocos puntos “vacíos” en la banda inferior, casi completa (Llamada la banda de valencia.) Tomaremos otra visión de esta banda, desde una perspectiva algo diferente. Debo confesar en este punto que lo que les estoy dando está aún más lejos de la forma en que realmente funcionan las cosas, entonces la imagen de “tazas a diferentes energías” que hemos estado usando hasta ahora. El problema es, que para hacer las cosas bien, tenemos que involucrarnos en el momentum fase-espacio, mucha más mecánica cuántica, y generalmente un montón de matemáticas y conceptos que realmente no necesitamos para tener una idea de cómo funcionan los dispositivos semiconductores. Lo que sigue a continuación está realmente pensado como una motivación, por lo que tendrás la sensación de que lo que declaramos como resultados, en realidad es razonable.

Considera Figura\(\PageIndex{3}\). Aquí mostramos todos los electrones en la valencia, o banda casi completa, y por simplicidad mostramos un electrón faltante. Apliquemos un campo eléctrico, como lo muestra la flecha en la figura. El campo intentará mover los electrones (cargados negativamente) hacia la izquierda, pero como la banda está casi completamente llena, la única que puede moverse es la que está justo al lado del punto vacío, o agujero como se le llama.

Una cuadrícula rectangular de electrones de seis por cinco, con uno de los electrones interiores (ubicado 2 puntos a la derecha y 3 por encima de la esquina inferior izquierda) eliminado. Se aplica un campo eléctrico apuntando hacia la derecha.
Figura\(\PageIndex{3}\): Banda llena de electrones, con una falta

Una cosa que te puede preocupar es lo que sucede con los electrones en los extremos de la muestra. Este es uno de los lugares donde estamos obteniendo una visión algo distorsionada de las cosas, porque realmente deberíamos estar buscando en momentum, o espacio onda-vector en lugar de espacio “real”. En esa imagen, caen mágicamente de un lado y “reaparecen” en el otro. Esto no sucede en el espacio real por supuesto, así que no hay manera fácil de lidiar con ello.

Poco tiempo después de aplicar el campo eléctrico tenemos la situación que se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\), y poco tiempo después de eso tenemos Figura\(\PageIndex{5}\). Podemos interpretar este movimiento de dos maneras. Una es que tenemos un flujo neto de carga negativa hacia la izquierda, o si consideramos el efecto del agregado de todos los electrones en la banda (lo cual tenemos que hacer por consideraciones mecánicas cuánticas más allá del alcance de este libro) podríamos imaginar lo que está sucediendo como una sola carga positiva, pasando a la derecha. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\). Tenga en cuenta que en cualquiera de las dos vistas tenemos el mismo efecto neto en la forma en que se transporta la carga neta total a través de la muestra. En la imagen de carga mayoritariamente negativa, tenemos un flujo neto de carga negativa hacia la izquierda. En el cuadro de carga positiva única, tenemos un flujo neto de carga positiva hacia la derecha. ¡Ambos dan la misma señal para la corriente!

A medida que se aplica el campo eléctrico, la posición del electrón faltante de la Figura 3 desplaza una ubicación hacia la derecha.
Figura\(\PageIndex{4}\): Movimiento del electrón “faltante” con un campo eléctrico
A medida que el campo eléctrico se aplica continuamente, la posición del electrón faltante de la Figura 4 desplaza un punto hacia la derecha, dejándolo 2 puntos a la derecha de su ubicación original de la Figura 3.
Figura\(\PageIndex{5}\): Movimiento adicional de la mancha de “electrón faltante”
A medida que se aplica el campo eléctrico, efectivamente provoca que una sola carga positiva, que es el agujero en la rejilla de electrones, se mueva hacia la derecha.
Figura\(\PageIndex{6}\): Movimiento de un “agujero” debido a un campo eléctrico aplicado

Así, resulta, podemos considerar las consecuencias de que los espacios vacíos se mueven a través del movimiento coordinado de electrones en una banda casi completa como el movimiento de cargas positivas, moviéndose donde sea que se encuentren estos espacios vacíos. A estos portadores de carga los llamamos “agujeros” y ellos también pueden sumar a la conducción total de la electricidad en un semiconductor. Usando\(\rho\) para representar la densidad (in\(\mathrm{cm}^{-3}\)) de espacios en la banda de valencia y\(\mu_{e}\) y\(\mu_{h}\) para representar la movilidad de electrones y agujeros respectivamente (generalmente no son lo mismo) podemos modificar la Ecuación\(1.1.11\) para dar la conductividad\(\sigma\) cuando ambos electrones' los agujeros están presentes:\[\sigma = nq \mu_{e} + \rho q \mu_{h} \nonumber \] ¿Cómo podemos obtener una muestra de semiconductor con muchos agujeros en él? ¿Y si, en lugar de fósforo, doparemos nuestra muestra de silicio con un elemento del grupo III, como el boro? Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\). Ahora tenemos algunos orbitales faltantes, o lugares donde los electrones podrían ir si estuvieran alrededor. Esto modifica nuestra imagen energética de la siguiente manera en la Figura\(\PageIndex{8}\). Ahora vemos un conjunto de nuevos niveles introducidos por los átomos de boro. Se encuentran dentro de la brecha de banda, apenas un poco por encima de la parte superior de la banda casi completa, o de valencia. Los electrones en la banda de valencia pueden excitarse térmicamente en estos nuevos niveles permitidos, creando estados vacíos, o agujeros, en la banda de valencia. Los electrones excitados están pegados en los sitios de átomos de boro llamados aceptores, ya que “aceptan” un electrón de la banda de valencia, y de ahí actúan como cargas negativas fijas, localizadas ahí. Un semiconductor que está dopado predominantemente con aceptores se llama tipo p, y la mayor parte de la conducción eléctrica tiene lugar a través del movimiento de agujeros. Un semiconductor que está dopado con donantes se llama tipo n, y la conducción se realiza principalmente a través del movimiento de electrones.

Rejilla de átomos mayoritariamente de silicio, con los otros puntos de la red ocupados por átomos de boro. Los átomos de boro en el interior de la rejilla forman tres dobles enlaces y un enlace sencillo con los átomos de silicio circundantes.
Figura\(\PageIndex{7}\): Silicio dopado con Boro
Bandas de cenefa y conducción de silicio, cada una con 10 copas; el espacio de banda entre las dos contiene una fila de 4 copas etiquetadas con B (los aceptores de boro). Cuando se excitan, los cuatro electrones de cenefa del silicio ingresan a los aceptores de boro en lugar de a la banda de conducción, y permanecen atrapados allí.
Figura\(\PageIndex{8}\): Silicio tipo P, debido a aceptores de boro

En el material tipo n, podemos suponer que todos los átomos de fósforo, o donantes, están completamente ionizados cuando están presentes en la estructura de silicio. Dado que el número de donantes suele ser mucho mayor que la concentración de electrones nativos, o intrínsecos, (\(\approx \left(10^{10} \mathrm{~cm}^{-3} \right)\)), si\(N_{d}\) es la densidad de donantes en el material, entonces\(n\), la concentración de electrones,\(\approx \left(N_{d}\right)\).

Si está presente un material deficiente en electrones como el boro, entonces el material se denomina silicio tipo p, y la concentración de huecos es justa\(p \simeq N_{a}\), donde\(N_{a}\) está la concentración de aceptores, ya que estos átomos “aceptan” electrones de la banda de valencia.

Si tanto los donantes como los aceptores están en el material, entonces el que alguna vez uno tenga la mayor concentración gana. (Esto se llama compensación.) Si hay más donantes que aceptores entonces el material es de tipo n y\(n \simeq N_{d} - N_{a}\). Si hay más aceptores que donantes entonces el material es de tipo p y\(p \simeq N_{a} - N_{d}\). Cabe señalar que en la mayoría de los materiales compensados, un tipo de impureza suele tener una concentración mucho mayor (varios órdenes de magnitud) que la otra, por lo que el proceso de resta descrito anteriormente generalmente no cambia mucho las cosas, e.g\(10^{18}-10^{16} \simeq 10^{18}\).

Otro dato que podría resultarte útil es que, de nuevo, por la mecánica cuántica, resulta que el producto de la concentración de electrones y huecos en un material debe permanecer constante. En silicio a temperatura ambiente:\[np \equiv n_{i}^{\ 2} \simeq 10^{20} \mathrm{~cm}^{-3} \nonumber \] Así, si tenemos una muestra tipo n de silicio dopada con\(10^{17}\) donadores por centímetro cúbico, entonces\(n\), la concentración de electrones es justa\(10^{17}\) y\(p\), la concentración de agujeros, es\(\frac{10^{20}}{10^{17}} = 10^{-3} \mathrm{~cm}^{3}\). A los portadores que dominan un material se les llama portadores mayoritarios, que serían los electrones en el ejemplo anterior. A los otros transportistas se les llama portadores minoritarios (los agujeros en el ejemplo), y si bien\(10^{3}\) podría no parecer mucho en comparación con\(10^{17}\) la presencia de transportistas minoritarios sigue siendo bastante importante y no se puede ignorar. Tenga en cuenta que si el material está desdopado, entonces debe ser eso\(n=p\) y\(n=p=10^{10}\).

La imagen de “tazas” de diferentes niveles de energía permitidos es útil para obtener una comprensión pictórica de lo que está sucediendo en un semiconductor, pero se vuelve algo incómoda cuando se quiere empezar a mirar dispositivos que están compuestos tanto por silicio tipo n como p. Así, introduciremos una forma más de describir lo que está pasando en nuestro material. La imagen que se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\) se denomina diagrama de bandas. Un diagrama de bandas es solo una representación de la energía en función de la posición con un dispositivo semiconductor. En un diagrama de bandas, la energía positiva para los electrones es ascendente, mientras que para los agujeros, la energía positiva es hacia abajo. Es decir, si un electrón se mueve hacia arriba, su energía potencial aumenta igual que con una masa normal en un campo gravitacional. También, así como una masa “caerá” si se le da una oportunidad, un electrón se moverá hacia abajo por una pendiente que se muestra en un diagrama de bandas. Por otro lado, los agujeros ganan energía al moverse hacia abajo y así tienen una tendencia a “flotar” hacia arriba si se les da la oportunidad, al igual que una burbuja en un líquido. La línea etiquetada\(E_{c}\) en la Figura\(\PageIndex{9}\) muestra el borde de la banda de conducción, o la parte inferior de la banda permitida desocupada más baja, mientras que\(E_{v}\) es el borde superior de la valencia, o banda ocupada más alta. El gap de banda\(E_{g}\),, para el material es obviamente\(E_{c}-E_{v}\). La línea punteada etiquetada\(E_{f}\) se llama nivel Fermi y nos dice algo sobre la energía de equilibrio químico del material, y también algo sobre el tipo y número de portadores en el material. Más sobre esto más adelante. Tenga en cuenta que no hay un nivel de energía cero en un diagrama como este. A menudo usamos el nivel Fermi o uno u otro de los bordes de la banda como nivel de referencia en lugar de saber exactamente dónde se encuentra la “energía cero”.

Gráfico de primer cuadrante con energía en eV en el eje y y posición en el eje x. Una línea horizontal en la gráfica se etiqueta e_V, una línea horizontal más alta se etiqueta como e_C, y una línea horizontal discontinua a una pequeña distancia por debajo de la línea e_C se etiqueta e_F.
Figura\(\PageIndex{9}\): Diagrama de banda de electrones para un semiconductor

La distancia (en energía) entre el nivel de Fermi y cualquiera\(E_{c}\) o nos\(E_{v}\) da información sobre la densidad de electrones y agujeros en esa región del material semiconductor. Los detalles, una vez más, tendrán que ser rogados por motivos de complejidad matemática. (¡Toma Dispositivos Semiconductores (ELEC 462) en tu último año y descubre cómo funciona realmente!) Resulta que se puede decir: \[\begin{align} n &= N_{c} e^{- \frac{E_{c}-E_{f}}{kT}} \\ p &= N_{v} e^{- \frac{E_{f}-E_{v}}{kT}} \end{align} \nonumber \]Ambos\(N_{c}\) y\(N_{v}\) son constantes que dependen del material del que se está hablando, pero suelen ser del orden de\(10^{19} \mathrm{~cm}^{-3}\). La expresión en el denominador de lo exponencial es solo la constante de Boltzman,\(k\), multiplicada por la temperatura\(T\) del material (en temperatura absoluta o Kelvin). Constante de Boltzman\(k = \left(8.63 \times 10^{-5}\right) \frac{\mathrm{eV}}{\mathrm{K}}\). A temperatura ambiente\(kT = 1/40\) de un electrón voltio. Observe cuidadosamente los numeradores en el exponencial. Tenga en cuenta primero que hay un signo menos al frente, lo que significa que cuanto mayor sea el número en el exponente, menos transportistas tenemos. Así, la expresión superior dice que si tenemos material tipo n, entonces no\(E_{f}\) debe estar muy lejos de la banda de conducción, mientras que si tenemos material tipo p, entonces el nivel Fermi,\(E_{f}\) debe estar abajo cerca de la banda de valencia. Cuanto más\(E_{f}\) se acerca\(E_{c}\), más electrones tenemos. Cuanto más\(E_{f}\) se acerca\(E_{v}\), más agujeros tenemos. La figura\(\PageIndex{9}\) por lo tanto debe ser para una muestra de material tipo n. Obsérvese también que si sabemos lo fuertemente que está dopada una muestra (es decir, si sabemos lo que\(N_{d}\) es, por ejemplo), por el hecho de que\(n \simeq N_{d}\) podemos usar Ecuación\(\PageIndex{5}\) para averiguar qué tan lejos está el nivel Fermi de la banda de conducción:\[E_{c}-E_{f} = kT \ln \left(\frac{N_{c}}{N_{d}}\right) \nonumber \]

Para ayudar aún más en nuestra capacidad de imaginar lo que está sucediendo, a menudo agregaremos a este diagrama de bandas, algunos pequeños círculos firmados para indicar la presencia de electrones móviles y agujeros en el material. Obsérvese que los electrones están dispersos en energía. Por nuestro cuadro de “tazas” sabemos que les gusta permanecer en los estados de menor energía si es posible, pero algunos también se distribuirán en los niveles superiores. Lo que aquí se distorsiona es la escala. El intervalo de banda para el silicio es de 1.1 eV, mientras que la dispersión real de los electrones probablemente solo sería de unas pocas décimas de un eV, no tanto como se muestra en la Figura\(\PageIndex{10}\). Veamos una muestra de material tipo p, solo para compararlo. Obsérvese que para los agujeros, el aumento de la energía baja, no hacia arriba, por lo que su distribución se invierte de la de los electrones. Se puede pensar en los agujeros como burbujas en un vaso de refresco o cerveza; quieren flotar hasta la cima si pueden. Tenga en cuenta también para el material de tipo n y tipo p también hay algunos portadores “minoritarios”, o portadores del tipo opuesto, que surgen de la generación térmica a través de la banda prohibida.

Diagrama de bandas con banda e_V por debajo de la banda e_C. La banda e_F se encuentra ligeramente por debajo de la banda e_C. Un gran número de electrones se encuentran por encima de la banda e_C, y dos cargas positivas se encuentran por debajo de la banda e_V.
Figura\(\PageIndex{10}\): Diagrama de bandas para un semiconductor de tipo n