Si miras de cerca estas fotos, notarás algo. A medida que eliminamos cada vez más electrones y huecos, estamos empezando a “destapar” las cargas fijas asociadas a los donantes y aceptores. Estamos haciendo lo que se conoce como región de agotamiento, así llamada porque está agotada de portadores móviles (agujeros y electrones). La carga neta descubierta en la región de agotamiento se separa, con carga negativa en la región p y carga positiva en la región n. ¿A qué dará lugar tal separación de cargos? ¡Por qué, un campo eléctrico! ¡Por supuesto! ¿En qué dirección apuntará el campo? El campo eléctrico que surge de una separación de cargas va siempre de la carga positiva, hacia la carga negativa. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

El esquema espacial de la unión p-n a medida que se produce la recombinación, con un campo eléctrico apuntando desde las cargas positivas fijas hasta las cargas negativas fijas.
Figura\(\PageIndex{1}\): La unión p-n con el campo eléctrico incorporado resultante

¿Qué efecto tendrá este campo en nuestro dispositivo? Tendrá la tendencia a empujar los agujeros de nuevo en la región p y los electrones hacia la región n. Esto es justo lo que necesitamos para contrarrestar la recombinación que ha estado ocurriendo, y ojalá detenerla.

Ahora trata de pensar qué efecto podría tener este campo en nuestro diagrama de bandas de energía. El diagrama de bandas es para electrones, por lo que si un electrón se mueve desde el lado derecho del dispositivo (la región n) hacia el lado izquierdo (la región p), tendrá que moverse a través de un campo eléctrico que se opone a su movimiento. Esto significa que ha hecho algún trabajo, o en otras palabras, la energía potencial para el electrón debe subir. Podemos mostrar esto en el diagrama de bandas simplemente desplazando las bandas del lado izquierdo hacia arriba, para indicar que hay un desplazamiento en la energía potencial a medida que los electrones se mueven de derecha a izquierda a través de la unión.

Diagrama de bandas de energía para una unión p-n en equilibrio, con los electrones en la sección tipo p ocupando un nivel de energía mayor que los de la sección tipo n. Las cargas positivas en la sección tipo n ocupan un nivel de energía menor que las de la sección tipo p.
Figura\(\PageIndex{2}\): Diagrama de banda de energía para una unión p-n en equilibrio

El desplazamiento de las bandas, que es solo la diferencia entre la ubicación del nivel Fermi en la región n y el nivel Fermi en la región p, se llama el potencial incorporado,\(V_{\mathrm{BI}}\). Este potencial incorporado mantiene la mayoría de los agujeros en la región p, y los electrones en la n- región. Proporciona una barrera potencial, que evita el flujo de corriente a través de la unión. (En el diagrama de bandas tenemos que multiplicar el potencial incorporado\(V_{\mathrm{BI}}\) por la carga de un electrón,\(q\), para que podamos representar el desplazamiento de energía en términos de electrón-voltios, la unidad de energía potencial utilizada en los diagramas de banda).

¿Qué tan grande es\(V_{bi}\)? Esto no es demasiado difícil de entender. Veamos Figura\(\PageIndex{2}\) un poco más cuidadosamente. Recuerda, sabemos por Ecuación\(1.3.7\) que ya que\(n=N_{d}\) en la región n y\(p=N_{a}\) en la región p, podemos relacionar la distancia del nivel Fermi desde\(E_{c}\) y\(E_{f}\) por\[E_{c} - E_{f} = kT \ln \left( \frac{N_{c}}{N_{d}}\right) \nonumber \] y\[E_{f}-E_{v} = kT \ln \left(\frac{N_{v}}{N_{a}}\right) \nonumber \] Mira Figura\(\PageIndex{2}\) y ver si puedes estar de acuerdo en que\[\begin{array}{l} qV_{\mathrm{BI}} &= \ E_{g} - \left(E_{c}-E_{f}\right) - \left(E_{f}-E_{v}\right) \\ &= \ E_{g}-kT \ln \left(\frac{N_{c}}{N_{d}}\right) - kT \ln \left(\frac{N_{c}}{N_{d}}\right) \\ &= \ E_{g} - kT \ln \left(\frac{N_{c} N_{v}}{N_{d} N_{a}}\right) \end{array} \nonumber \]

donde las\(N_{d}\) y\(N_{a}\) son las densidades de dopaje en las regiones n y p respectivamente. Recuerda eso\(kT=1/40 \mathrm{~eV} = 0.025 \mathrm{~eV}\),\(E_{g} = 1.1 \mathrm{~eV}\), y\(N_{c}\) y\(N_{v}\) son ambos\(\approx \left(10^{19}\right)\). Así,\[q V_{\mathrm{BI}} = 1.1 \mathrm{~eV} - 0.025 \mathrm{~eV} \cdot \ln \left(\frac{10^{38}}{N_{d} N_{a}}\right) \nonumber \]

Aquí el\(q\) frente de la\(V_{\mathrm{BI}}\) y el\(e\) adentro\(\mathrm{eV}\) son ambos la carga de 1 electrón, y cancelan, haciendo\[V_{\mathrm{BI}} = \left(1.1 - 0.025 \ln \left(\frac{10^{38}}{N_{d} N_{a}}\right) \right) \mathrm{~volts} \nonumber \]

Supongamos que ambos\(N_{d}\) y ambos\(N_{a}\) son sobre\(10^{15}\) — valores no infrecuentes. ¿Qué tan grande sería el potencial incorporado en este caso?

Resulta que en realidad podemos derivar algunos detalles específicos sobre la región de agotamiento si hacemos solo un par de suposiciones simplificadoras (y a menudo justificadas). Para facilitar las matemáticas, y también porque muchos cruces p-n se construyen de esta manera, consideraremos lo que se conoce como un cruce unilateral. La figura\(\PageIndex{3}\) es una imagen de tal bestia: En este diodo, un lado está mucho más dopado que el otro. En este ejemplo particular, el lado p está fuertemente dopado, y el lado n está relativamente ligeramente dopado. No podemos mostrar el panorama verdadero aquí, porque típicamente, el lado más fuertemente dopado será dopado varios órdenes de magnitud mayor que el lado ligeramente dopado. Los valores típicos pueden ser\(N_{a}=10^{19}\) y\(N_{d}=10^{16}\). Sin embargo, independientemente de cuán grande sea la diferencia, debe haber exactamente la misma cantidad de carga “descubierta” a ambos lados del cruce. ¿Por qué? Porque cada vez que un agujero y un electrón se recombinan para formar la región de agotamiento, cada uno deja atrás ya sea un donante o un aceptor. Un recuento cuidadoso de la carga expuesta en la Figura\(\PageIndex{3}\) muestra que fui lo suficientemente cuidadoso como para dibujar mi figura con precisión para ti. No necesitamos tener un diodo unilateral para hacer el análisis que seguirá, pero las ecuaciones son más fáciles de resolver si lo hacemos.

Un diodo dividido a través de su centro por una línea vertical tiene una mitad izquierda con un gran número de cargas negativas fijas y un gran número de agujeros de electrones, y una mitad derecha con un número menor de cargas positivas fijas y un número aún menor de electrones. Los electrones están agrupados a la derecha del diodo, con una distancia de x_n entre la línea central y la ubicación de los electrones.
Figura\(\PageIndex{3}\): Un ejemplo de un diodo unilateral

Para proceder a partir de aquí, lo primero que hacemos es hacer una gráfica de la densidad de carga a\(\rho (x)\) medida que nos movemos por el cruce. Naturalmente, en la masa, dado que los agujeros y los aceptores (en el lado p), o los electrones y los donantes (en el lado n) son iguales entre sí, la densidad de carga neta es cero. En la región de agotamiento, la densidad de carga está\(\left(-q\right) N_{a}\) en el lado p y\((q) N_{d}\) en el lado donante. (Todos los operadores móviles se han ido, y nos quedamos solo con los aceptadores o donantes cobrados). Haremos la suposición de que en el lado n, el agotamiento se extiende una distancia\(-x_{n}\) desde el cruce. En el lado p, la densidad de carga del aceptor es tan grande que trataremos es una\(\delta\) función -, esencialmente sin ancho. Las áreas de las dos cajas deben ser las mismas (igual cantidad de carga positiva y negativa) y por lo tanto, la caja alta y delgada en realidad tiene una anchura de la\(\frac{N_{d}}{N_{a}} x_{n}\) cual, ya que\(N_{a}\) es varios órdenes de magnitud mayor que\(N_{d}\), significa que la caja alta tiene una anchura muy, muy pequeña en comparación con la inferior, más ancho, que es\(q N_{d}\) alto, y tiene un ancho de\(x_{n}\).

Gráfica de densidad de carga rho (x) en función de la posición, x. La gráfica toma la forma de una caja alta y delgada justo a la izquierda del eje y, que se extiende hacia abajo desde el eje x hasta -q N_a, y una caja x_n más corta, más ancha de longitud que comienza a la derecha del eje y, extendiéndose desde el eje x hasta q N_d.
Figura\(\PageIndex{4}\): Densidad de carga en función de la posición