1.11: Difusión

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Como vimos hace un tiempo, cuando los electrones se inyectan a través de una unión, se alejan de la región de unión por un proceso de difusión, mientras que al mismo tiempo, algunos de ellos están desapareciendo porque son portadores minoritarios (electrones en material básicamente tipo p) y así hay muchos agujeros alrededor para que puedan recombine con. Todo esto se muestra esquemáticamente en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Los electrones se inyectan a través de una unión p-n, lo que hace que se muevan desde el lado de la unión con menor energía potencial hacia el lado con mayor energía potencial. En el lado de mayor energía, muchos electrones se difunden lejos de la unión. Algunos electrones se someten a recombinación con agujeros a través de la unión. — Figura\(\PageIndex{1}\): Procesos involucrados en el transporte de electrones a través de una unión p-n

Proceso de difusión cuantificado

En realidad es bastante fácil cuantificar esto, y llegar a una expresión para la distribución de electrones dentro de la región p. Primero tenemos que mirar un poco el proceso de difusión, sin embargo. Imagínese que tenemos una serie de bins, cada uno con un número diferente de electrones en ellos. En un tiempo dado, podríamos imaginar que todos los electrones fluirían fuera de sus contenedores hacia los vecinos. Dado que no hay razón para esperar que los electrones favorezcan a un lado sobre el otro, asumiremos que exactamente la mitad se va por cada lado. Todo esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Mantendremos las cosas simples y solo miraremos tres contenedores. Imagínese que tengo 4, 6 y 8 electrones respectivamente en cada uno de los bins. Después del “tiempo de vaciado” requerido, tendremos un flujo neto de exactamente un electrón a través de cada límite como se muestra.

Una fila horizontal de tres cajas. La caja izquierda contiene 4 electrones, la caja del medio contiene 6 electrones y la caja derecha contiene 8 electrones. A medida que los electrones se difunden, después del “tiempo de vaciado” requerido, 2 electrones saldrán de la caja izquierda a la izquierda, 2 electrones se moverán de la caja izquierda a la caja del medio, y 3 electrones se moverán de la caja del medio a la caja izquierda. 3 electrones se moverán de la caja media a la caja derecha, y 4 electrones se moverá de la caja derecha a la del medio. 4 electrones saldrán de la caja más a la derecha, moviéndose hacia la derecha.

Ahora elevemos el número de electrones a 8, 12 y 16 respectivamente (los electrones pueden superponerse a algunos ahora en la imagen). Encontramos que el flujo neto a través de cada límite es ahora de 2 electrones por tiempo de vaciado, en lugar de uno.

Una fila horizontal de 3 cajas con 8 electrones en la caja izquierda, 12 electrones en la caja central y 16 electrones en la caja derecha. Después del tiempo de vaciado, 4 electrones salen de la caja izquierda hacia la izquierda, 4 electrones se mueven de la caja izquierda a la caja del medio, y 6 electrones se mueven de la caja del medio a la caja izquierda. 6 electrones se mueven de la caja del medio a la caja derecha, y 8 electrones se mueven de la caja derecha a la del medio. 8 electrones salir de la caja derecha, moviéndose a la derecha. — Figura\(\PageIndex{3}\): Difusión desde contenedores con el doble de electrones

Tenga en cuenta que el gradiente (pendiente) de la concentración en las cajas también se ha duplicado de uno por caja a dos por caja. Esto nos lleva a una afirmación bastante obvia de que el flujo de portadores es proporcional al gradiente de su densidad. Esto se afirma formalmente en lo que se conoce como Primera Ley de Difusión de Fick:\[\text{Flux} = \left(-D_{e}\right) \frac{\text{d} n(x)}{\text{d} x} \nonumber \]

donde\(D_{e}\) es simplemente una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de difusión. Ya que estamos hablando del movimiento de los electrones, este flujo de difusión debe dar lugar a una densidad de corriente\(J_{e_{\text{diff}}}\). Dado que un electrón tiene una carga\(q\) asociada a él,\[J_{e_{\text{diff}}} = q D_{e} \ \frac{\text{d} n}{\text{d} x} \nonumber \]

Ahora tenemos que invocar algo llamado la ecuación de continuidad. Imagina que tenemos un volumen\(V\) que se llena con alguna carga\(Q\). Es bastante obvio que si sumamos toda la densidad de corriente que está fluyendo fuera del volumen, debe ser igual a la tasa de tiempo de disminución de la carga dentro de ese volumen. Esta idea se expresa en la siguiente fórmula, que utiliza una integral de superficie cerrada, junto con todas las demás integrales a seguir:\[\oint J \ dS = - \frac{\text{d} Q}{\text{d} t} \nonumber \]

Podemos escribir\(Q\) como\[Q = \oint\limits_{V} \rho (v) \ dV \nonumber \]

donde estamos haciendo una integral de volumen de la densidad de carga\(\rho\) sobre el volumen\(V\). Ahora podemos usar el teorema de Gauss, que dice que podemos reemplazar una integral de superficie de una cantidad por una integral de volumen de su divergencia:\[\oint\limits_{S} J \ dS = \int \text{div} (J) \ dV \nonumber \]

Entonces, combinando Ecuación\(\PageIndex{3}\), Ecuación\(\PageIndex{4}\) y Ecuación\(\PageIndex{5}\), tenemos (tenga en cuenta que todavía estamos tratando con integrales de superficie y volumen):\[\int \text{div} (J) \ dV = - \int \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \ dV \nonumber \]

Finalmente, dejamos que el volumen se\(V\) reduzca hasta un punto, lo que significa que las cantidades dentro de la integral deben ser iguales, y tenemos la forma diferencial de la ecuación de continuidad (en una dimensión):\[\begin{array}{l} \text{div} (J) &= \frac{\partial J}{\partial x} \\ &= - \frac{\text{d} \rho (x)}{\text{d} t} \end{array} \nonumber \]

¿Qué pasa con los Electrones?

Ahora volvamos a los electrones en el diodo. Los electrones que han sido inyectados a través de la unión se denominan portadores minoritarios en exceso, porque son electrones en una región p (de ahí minoría), pero su concentración es mayor de lo que serían si estuvieran en una muestra de material tipo p en equilibrio. Los designaremos como\(n^{\prime}\), y como podrían cambiar tanto con el tiempo como con la posición los escribiremos como\(n^{\prime} (x, t)\). Ahora hay dos formas en las que\(n^{\prime} (x, t)\) puede cambiar con el tiempo. Una sería si dejáramos de inyectar electrones desde el lado n de la unión. Una manera razonable de dar cuenta de la decadencia que ocurriría si no estuviéramos suministrando electrones sería escribir:\[\frac{\text{d}}{\text{d} t} n^{\prime} (x, t) = - \frac{n^{\prime} (x,t)}{\tau_{r}} \nonumber \]

donde\(\tau_{r}\) se llama la vida útil de recombinación de portadores minoritarios. Es bastante fácil demostrar que si empezamos con un exceso de concentración de portadores minoritarios\(n_{0}^{\prime}\) en\(t=0\), entonces\(n^{\prime} (x, t)\) va como\[n^{\prime} (x,t) = n_{0}^{\prime} e^{\frac{-t}{\tau_{r}}} \nonumber \]

Pero, la concentración de electrones también puede cambiar debido a que los electrones fluyen dentro o fuera de la región\(x\). La concentración de electrones\(n^{\prime} (x,t)\) es justa\(\frac{\rho (x, t)}{q}\). Así, debido al flujo de electrones tenemos:\[\begin{array}{l} \frac{\text{d}}{\text{d} t} n^{\prime} (x, t) &= \frac{1}{q} \frac{\text{d} \rho (x,t)}{\text{d} t} \\ &= \frac{1}{q} \text{div} \left( J(x,t) \right) \end{array} \nonumber \]

Pero, podemos obtener una expresión para\(J (x,t)\) de Ecuación\(\PageIndex{2}\). Reduciendo la divergencia en la Ecuación\(\PageIndex{2}\) a una dimensión (solo tenemos a\(\frac{\partial J}{\partial x}\)), finalmente terminamos con\[\frac{\text{d}}{\text{d} t} n^{\prime} (x,t) = D_{e} \frac{\text{d}^2 n^{\prime} (x,t)}{\text{d} x^{2}} \nonumber \]

Combinando Ecuación\(\PageIndex{8}\) y Ecuación\(\PageIndex{11}\) (los electrones, después de todo, sufrirán tanto por recombinación como por difusión), terminamos con:\[\frac{\text{d}}{\text{d} t} n^{\prime} (x,t) = D_{e} \frac{\text{d}^{2} n^{\prime} (x,t)}{\text{d} x^{2}} - \frac{n^{\prime} (x,t)}{\tau_{r}} \nonumber \]

Esta es una forma algo especializada de una ecuación llamada ecuación de difusión ambipolar. Parece un poco complicado, pero podemos obtener algunos buenos resultados de ello si hacemos algunas suposiciones simples de condición de límite. Veamos qué podemos hacer con esto.

Uso de la Ecuación de Difusión Ambipolar

Para cualquier cosa que nos interese, solo veremos soluciones de estado estacionario. Esto significa que la derivada de tiempo en el lado izquierdo de la Ecuación\(\PageIndex{12}\) es cero, y así lo hemos hecho (dejando que\(n^{\prime} (x,t)\) se convierta simplemente\(n^{\prime}(x)\) ya que ya no tenemos ninguna variación de tiempo de la que preocuparnos)\[\frac{\text{d}^2}{\text{d} t^{2}} n^{\prime} (x) - \frac{1}{D_{e} \tau_{r}} n^{\prime} (x) = 0 \nonumber \]

Vamos a escoger las condiciones límite no irrazonables que\(n^{\prime} (0) = n_{0}\) (la concentración de electrones en exceso justo al inicio de la región de difusión) y\(n^{\prime} (x) \rightarrow 0\) como\(x \rightarrow \infty\) (los portadores sobrantes van a cero cuando nos alejamos de la unión). Entonces,\[n(x) = n_{0} e^{- \frac{x}{\sqrt{D_{e} \tau_{r}}}} \nonumber \]

La expresión en el radical\(\sqrt{D_{e} \tau_{r}}\) se llama longitud de difusión electrónica,\(L_{e}\), y nos da alguna idea de cuán lejos de la unión existirán los electrones sobrantes antes de que se hayan recombinado más o menos todos. Esto será importante para nosotros cuando pasemos a los transistores bipolares.

Solo para que puedas tener una idea de algunos números, un valor típico para el coeficiente de difusión para electrones en silicio sería\(D_{e} = 25 \ \frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{sec}}\) y la vida útil del portador minoritario suele ser alrededor de un microsegundo. ¡Así \[\begin{array}{l} L_{e} &= \sqrt{D_{e} \tau_{r}} \\ &= \sqrt{25 \times 10^{-6}} \\ &= 5 \times 10^{-3} \mathrm{~cm} \end{array} \nonumber \]que no está muy lejos en absoluto!