5.7: Diagramas de rebote

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 86487

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Ahora esta nueva\(V_{2}^{+}\) volverá hacia la carga y... hmm... las cosas se van a poner un poco desordenadas y complicadas. Afortunadamente para nosotros, a los ingenieros de líneas de transmisión se les ocurrió un esquema para hacer un seguimiento de todas las olas que rebotan de un lado a otro en la línea. El esquema se llama diagrama de rebote. Un diagrama de rebote consiste en una línea de distancia horizontal, que representa la distancia a lo largo de la línea de transmisión, y un eje de tiempo vertical, que representa el tiempo desde que la batería se conectó por primera vez a la línea. Solo para mantener las cosas conceptualmente claras, generalmente primero comenzamos mostrando la línea, la batería, la carga y un interruptor, S, que se usa para conectar la fuente a la línea. No está de más hacer un boceto como Figura\(\PageIndex{1}\), y anotar la longitud de la línea,\(Z_{0}\) y\(v_{p}\), junto con la fuente y las resistencias de carga. Ahora dibujamos el diagrama de rebote, que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Dos cables horizontales están conectados en sus extremos izquierdos por una fuente de voltaje V_s con el extremo positivo hacia arriba, y en sus extremos derechos por una resistencia de carga R_L. Una resistencia R_s se encuentra en la esquina superior izquierda, y un interruptor está ubicado justo a la derecha de esta resistencia. La distancia horizontal entre la resistencia de carga y el extremo derecho del interruptor es L. Para esta distancia, el valor de impedancia Z_0 es la fracción de raíz cuadrada de L distribuida sobre C distribuida y el valor de voltaje v_p es uno dividido por el producto de raíz cuadrada de L distribuido y C distribuido.

Diagrama de rebote vacío que consiste en una línea horizontal que representa un eje x con 0 en el extremo izquierdo y L en el extremo derecho, con un eje vertical de tiempo positivo que se extiende hacia arriba desde cada extremo. La expresión para gamma_vs, la diferencia entre R_s y Z_0 dividida por su suma, está escrita por x=0. La expresión para gamma_VL, la diferencia entre R_L y Z_0 dividida por su suma, está escrita por x=L.

Normalmente, no pondrías la fórmula para\(\Gamma_{vs}\) y\(\Gamma_{vL}\) por\(x=0\) y\(x=L\) en el diagrama, sino sus valores. Esto quedará claro cuando hagamos un ejemplo. Lo siguiente que hacemos es calcular\(V_{1}^{+}\) y dibujar una línea recta en el diagrama de rebote (nominalmente a una pendiente de\(\frac{1}{v_{p}}\)) que representará la señal inicial bajando por la línea. Marcamos a\(\tau = \frac{L}{v_{p}}\) en el eje vertical para mostrar cuánto tiempo tarda la ola en llegar al final de la línea, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\).

Se dibuja una línea en el diagrama de la Figura 2 anterior, que se extiende desde la esquina inferior izquierda hasta el punto tau en el eje de tiempo derecho. La línea se etiqueta como V1+, igual al producto de Z_0 y V_s dividido por la suma de Z_0 y R_s.

Una vez que la onda inicial golpea la carga, una segunda onda reflejada\(V_{1}^{-} = \Gamma_{vL} V_{1}^{+}\) es enviada de vuelta al revés así que la agregamos al diagrama de rebote. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). Dado que todas las olas se mueven con la misma velocidad de fase, debemos tener cuidado de dibujar todas las líneas con la misma pendiente. Tenga en cuenta que el momento en que la onda reflejada golpea el final del generador es un tiempo total de ida y vuelta de\(2 \tau\). (Este concepto simple es uno que los estudiantes a menudo olvidan llegar a la hora del examen, ¡así que esté prevenido!)

El diagrama de la Figura 3 anterior se muestra con la adición de una nueva línea diagonal etiquetada V1-, que se inclina hacia arriba y hacia la izquierda desde el punto t = tau en el eje de tiempo derecho hasta el punto t = 2 tau en el eje de tiempo izquierdo.

Vimos que lo siguiente que sucede es que otra onda se refleja desde el generador, así que también agregamos eso al diagrama de rebote. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\).

El diagrama de la Figura 4 anterior con la adición de una nueva línea diagonal V2+, inclinada hacia arriba desde el punto t = 2 tau en el eje t izquierdo hasta el punto t = 3 tau en el eje t derecho. Las líneas para V1+ y V2+ son paralelas.

Por último, una última ola, ya que casi estamos rebotados justo en el diagrama, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\)!

El diagrama de la Figura 5 anterior se muestra con la adición de una línea diagonal V2-, inclinada hacia arriba y hacia la izquierda y paralela a la línea V1-. El extremo izquierdo de la línea V2- se eleva más allá de la región visible en el diagrama.

Bien, entonces tenemos un diagrama de rebote, ¿y qué? Tener el diagrama es solo una parte de la solución. Todavía tenemos que ver lo buenos que son. Hagamos un ejemplo numérico, ya que tal vez sea un poco más ilustrativo, y sin duda será más fácil de escribir que todas estas proporciones todo el tiempo. Simplemente elegiremos algunos números típicos, y luego elaboraremos las respuestas. Vamos\(V_{S} = 40 \mathrm{~V}\),,\(R_{S} = 150 \mathrm{~\Omega}\)\(Z_{0} = 50 \mathrm{~\Omega}\), y\(R_{L} = 16.7 \mathrm{~\Omega}\). La línea tendrá 100 metros de largo, y\(v_{p} = 2 \times 10^{8}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\). El circuito está etiquetado con estos valores numéricos en la Figura\(\PageIndex{7}\).

El circuito de la Figura 1 anterior está etiquetado con una fuente de voltaje de 40 V, una resistencia de fuente de 150 Ohmios, una resistencia de carga de 16.7 Ohmios, y una distancia de línea de 100 metros entre el interruptor y la resistencia de carga. La línea tiene impedancia 50 Ohmios y un v_p de 2 veces 10 a la 8ª potencia, en metros por segundo.

Primero calculamos los coeficientes de reflexión\[\begin{array}{l} \Gamma_{vL} &= & \dfrac{R_{L} - Z_{0}}{R_{L} + Z_{0}} \\[4pt] &= & \dfrac{16.7 - 50}{16.7 + 50} \\[4pt] &= & -0.50 \end{array}\] y\[\begin{array}{l} \Gamma_{vS} &=& \dfrac{R_{S} - Z_{0}}{R_{S} + Z_{0}} \\[4pt] &=& \dfrac{150-50}{150+50} \\ &=& 0.50 \end{array}\]

La señal de voltaje inicial\(V_{1}^{+}\) es\[\begin{array}{l} V_{1}^{+} &=& \dfrac{50}{50 + 150} \cdot 40 \\[4pt] &=& 10(V) \end{array}\]

y el tiempo de propagación es\[\begin{array}{l} \tau &=& \dfrac{L}{v_{p}} \\[4pt] &=& \dfrac{100 \mathrm{~m}}{\left(2 \times 10^{8}\right) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} \\[4pt] &=& 0.5 \ \mu \mathrm{s} \end{array}\]

Entonces dibujamos los diagramas de rebote que se ven en la Figura\(\PageIndex{8}\).

Diagrama de rebote de la Figura 6 anterior con tau marcada como 0.5 microsegundos, gamma_vs etiquetada como 0.5 y ocurriendo a x=0, y gamma_VL etiquetada como -0.5 y ocurriendo a x=100. Las cuatro líneas de voltaje en el diagrama están etiquetadas de abajo hacia arriba con valores de 10 V, -5 V, -2.5 V y 1.25 V. Se dibuja una línea punteada vertical a medio camino entre los puntos finales x.

Ahora bien, así es como usamos un diagrama de rebote, una vez que lo tenemos. Supongamos que queremos saber qué\(V(t)\), el voltaje en función del tiempo, se vería como a mitad de camino de la línea. Dibujamos una línea vertical en el lugar que nos interesa (la línea punteada en la Figura\(\PageIndex{8}\)) y luego simplemente subimos a lo largo de la línea, sumando voltaje a lo que teníamos antes cada vez que cruzamos una de las líneas de señal “rebotantes”. Así para la línea como se muestra tendríamos para\(V(t)\) lo que vemos en la Figura\(\PageIndex{9}\).

Gráfica de voltaje en unidades de Voltios en ubicación x=50 metros, en función del tiempo t en microsegundos. La gráfica toma la forma de cuatro segmentos horizontales rectos con transiciones instantáneas: V = 10 para x entre 0.25 y 0.75, V = 5 para x entre 0.75 y 1.25, V = 2.5 para x entre 1.25 y 1.75, y V = 3.75 para x mayor que 1.75.

Para el primero no\(0.25 \ \mu \mathrm{s}\) tenemos voltaje, porque aún no\(V_{1}^{+}\) ha llegado al punto medio. El voltaje entonces salta a\(+10 \mathrm{~V}\) cuando\(V_{1}^{+}\) viene. Se queda así hasta que el\(V_{1}^{-}\) de\(-5 \mathrm{~V}\) viene\(0.5 \ \mu \mathrm{s}\) más tarde. Luego, el voltaje permanece constante\(5 \mathrm{~V}\) hasta que\(-2.5 \mathrm{~V}\) llega el\(V_{2}^{+}\) de para bajar el voltaje total a solo 2.5 voltios. Cuando\(V_{2}^{-}\) llega, ha sido conmutada de nuevo a una onda de voltaje positiva por el coeficiente de reflexión de carga negativa, y así ahora el voltaje salta de nuevo a\(3.75 \mathrm{~V}\). Seguirá oscilando de un lado a otro hasta que finalmente se asiente a algún valor asintótico.

¿Cuál será ese valor asintótico? Un enfoque es anotar la siguiente ecuación:\[V(x, \infty) = V_{1}^{+} \left(1 + \Gamma_{L} + \Gamma_{L} \Gamma_{S} + \Gamma_{L}{ }^{2} \Gamma_{S} + \ldots\right)\]

que podemos reescribir como\[V_{1}^{+} \left(1 + \Gamma_{L} \Gamma_{S} + \left(\Gamma_{L}\Gamma_{S}\right)^{2} + \ldots\right) + \Gamma_{L} V_{1}^{+} \left(1 + \Gamma_{L} \Gamma_{S} + \left(\Gamma_{L}\Gamma_{S}\right)^{2} + \ldots\right)\]

Ahora, recordando la relación de suma infinita\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}\]

for\(|x| < 1\) (que siempre es el caso de un coeficiente de reflexión). Podemos sustituir Ecuación\(\PageIndex{7}\) por los términos dentro de los paréntesis en Ecuación\(\PageIndex{6}\) y obtenemos\[\begin{array}{l} V(x, \infty) &= V_{1}^{+} \left(\dfrac{1}{1 - \Gamma_{L} \Gamma_{S}} + \dfrac{\Gamma_{L}}{1 - \Gamma_{L} \Gamma_{S}}\right) \\[4pt] &= V_{1}^{+} \dfrac{1 + \Gamma_{L}}{1 - \Gamma_{L}\Gamma_{S}} \end{array}\]

Lo dejaremos como un ejercicio al lector para demostrar que si sustituimos Ecuaciones\(5.6.9\) [link],\(5.6.14\) [link], y finalmente\(5.6.17\) [link] en Ecuación eventualmente\(\PageIndex{8}\) obtendremos:\[V(x, \infty) = \frac{R_{L}}{R_{L} + R_{S}} V_{S}\]

Mire hacia atrás en Figura\(\PageIndex{1}\) y vea si Ecuación tiene algún\(\PageIndex{9}\) sentido. Debería. Si esperamos lo suficiente, es razonable esperar que cualquier efecto de “línea de transmisión” desaparezca, y volveríamos a la misma situación que tendríamos si la línea fuera solo algún cable conectando la fuente a la carga. En este caso, la resistencia de carga y la resistencia de fuente formarían un divisor de voltaje, y esperaríamos que el voltaje a través de la carga fuera determinado por la ecuación del divisor de voltaje. Eso es todo ¡Ecuación\(\PageIndex{9}\) está diciendo!

¿Qué hacemos si queremos, digamos, el voltaje a través de la carga con el tiempo? Para ello nos movemos hacia arriba por el lado derecho del diagrama de rebote, y contamos las ondas de voltaje a medida que nos movemos a través de ellas. Empezamos en cero, claro, y no vemos nada hasta llegar a\(0.5 \ \mu \mathrm{s}\). Entonces cruzamos la\(10 \mathrm{~V}\)\(V_{1}^{+}\) onda y cruzamos la\(-5 \mathrm{~V}\)\(V_{1}^{-}\) onda al mismo tiempo, así que el voltaje sólo sube a\(+5 \mathrm{~V}\). De igual manera, otro\(1 \ \mu \mathrm{s}\) más adelante, cruzamos tanto la\(-2.5 \mathrm{~V}\)\(V_{2}^{+}\)\(+1.25 \mathrm{~V}\)\(V_{2}^{-}\) onda como la onda, y así el voltaje termina en la\(3.75 \mathrm{~V}\) posición como en la Figura\(\PageIndex{10}\).

Gráfica de V, en unidades de Voltios, a través de la carga en función del tiempo en unidades de microsegundos. El valor de V es 5 para t = 0.5 a 1.5, y V es 3.75 para valores de t mayores a 1.5, con transiciones instantáneas.

También podemos usar el diagrama de rebote para encontrar el voltaje en función de la posición, por algún tiempo fijo\(t_{0}\) como en la Figura\(\PageIndex{11}\).

Diagrama de rebote con gamma_vs = 0.5, gamma_vl = -0.5 y x = 100 metros. La onda de 10V conecta la esquina inferior izquierda a t = 0.5 microsegundos en el eje de tiempo derecho, y la onda -5V conecta el extremo superior de la primera línea a t = 1.0 microsegundos en el eje de tiempo izquierdo. Se dibuja una línea punteada horizontal a través de la gráfica a t = 0.75 microsegundos.

Para ello, trazamos una línea horizontal en el momento que nos interesa, digamos\(0.75 \ \mu \mathrm{s}\). Ahora, para cada posición\(x\), vamos desde la parte inferior del diagrama, hasta la línea horizontal, sumando voltaje a medida que avanzamos. Así para el ejemplo: obtenemos lo que vemos en Figura\(\PageIndex{12}\). Para la primera mitad de la línea, cruzamos la\(+10 \mathrm{~V}\)\(V_{1}^{+}\), pero ya está. Para la segunda mitad de la línea cruzamos tanto la\(+10 \mathrm{~V}\) línea como la\(-5 \mathrm{~V}\)\(V_{1}^{-}\) onda, y así el voltaje baja a\(5 \mathrm{~V}\).

Gráfica de V en unidades de Voltios al tiempo 0.75 microsegundos, en función de x en unidades de metros. La gráfica toma el valor de V = 10 para x = 0 a 50 y el valor de V = 5 para x = 50 a 100, con transiciones instantáneas.

De particular interés para muchos de ustedes será la forma en que un pulso se mueve por una línea y se refleja etc. Esto también es bastante fácil de hacer con un diagrama de reflexión, si simplemente dividimos el pulso en dos ondas, una que tiene un swing positivo en\(t=0\) y otra que es una onda negativa en\(t = \tau_{p}\), donde\(\tau_{p}\) está el ancho de pulso del pulso que se está generando. La forma en que hacemos esto se sugiere en la Figura\(\PageIndex{13}\). Reemplazamos el generador de impulsos con dos combinaciones de batería/interruptor. El primer circuito es igual que hemos visto hasta ahora, con una batería igual a la altura de pulso de circuito abierto del generador, y un interruptor que se cierra a las\(t = 0\). El segundo circuito tiene una batería con una amplitud de menos la altura del pulso, y un interruptor que se cierra en\(t = \tau_{p}\), el ancho de pulso del pulso mismo.

Un pulso se simula con una combinación de dos circuitos: una fuente de voltaje de V_p conectada a una resistencia R_s y un interruptor que se cierra en t=0, y una fuente de voltaje de -V_p conectada a una resistencia R_s y un interruptor que se cierra en t = tau_p.

Por superposición, podemos simplemente sumar estos dos generadores, uno tras otro, y ver cómo va el pulso por la línea. Supongamos que\(V_{p}\) es de 10 voltios\(\tau_{p} = 0.25 \ \mu \mathrm{s}\),\(R_{S} = 50 \mathrm{~\Omega}\),\(Z_{0} = 50 \mathrm{~\Omega}\),, y\(R_{L} = 25 \mathrm{~\Omega}\). Con los números, nos encontramos con eso\(V_{1}^{+} = 25 \mathrm{~V}\). \(\Gamma_{vL} = \frac{-1}{3}\), y\(\Gamma_{vS} = 0\). Supongamos que el tiempo de propagación en la línea aún está por\(0.5 \ \mu \mathrm{s}\) llegar de un extremo a otro de la línea.

Dibujamos el diagrama de rebote, y lanzamos dos ondas, una que sale en\(t=0\), tiene una amplitud de\(V_{1}^{+} = 5 \mathrm{~V}\). La segunda ola sale a la vez\(\tau_{p}\) después, y tiene una amplitud de\(-5 \mathrm{~V}\).

Diagrama de rebote con gamma_vs = 0, gamma_vl = -0.33, y un eje x de 0 a 100 metros. Una línea de 5V conecta la esquina inferior izquierda con el punto t=0.5 microsegundos en el eje de tiempo correcto. Una línea de -1.67V conecta el extremo superior de la línea +5V al punto t = 1.0 microsegundos en el eje de tiempo izquierdo. Una línea de -5V paralela a la línea de 5V comienza en el punto tau_p por encima del origen, y una línea de +1.67V paralela a la -1.67V comienza en el extremo superior de esta línea.

Ahora cuando queremos ver cómo se ve el voltaje en función del tiempo, nuevamente trazamos una línea por el medio, y agregamos voltajes a medida que los cruzamos. Aquí vemos, de nuevo, no hay voltaje hasta que cruzamos la primera onda a\(0.25 \ \mu \mathrm{~s}\), lo que nos hace subir a\(+5 \mathrm{~V}\). En un momento\(0.25 \ \mu \mathrm{~s}\) después, sin embargo, llega la\(-5 \mathrm{~V}\) ola, y volvemos a bajar a cero. A\(t = 0.75 \ \mu \mathrm{~s}\), llega el\(-1.67 \mathrm{~V}\) pulso reflejado, y así vemos eso. Ya que la fuente se corresponde con la línea,\(\Gamma_{vS} = 0\) y así este es el final de la historia, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{15}\).

Gráfica de V a 50 metros, en unidades de voltios, en función de t en unidades de microsegundos. Para t=0.25 a 0.5, V es 5. Para t=0.5 a 0.75, V es 0. Para t=0.75 a 1.0, V es -1.67. Todas las transiciones son instantáneas.

Puedes obtener formas de onda algo más interesantes si vas a algún lugar donde los dos pulsos se superpongan al menos parcialmente. Veamos digamos,\(x = 87.5 \mathrm{~m}\). La figura\(\PageIndex{16}\) es el diagrama de rebote.

Diagrama de rebote con x corriendo de 0 a 100 metros, gamma_vs = 0 y gamma_vl = -0.33. Una línea diagonal de +5V se inclina desde la esquina inferior izquierda hasta el valor de 0.5 microsegundos en el eje de tiempo derecho, y una línea de -5V paralela a esta comienza en el punto tau_p en el eje de tiempo izquierdo. Una línea diagonal de -1.67V se inclina desde el punto final derecho de la línea +5V hasta el valor de 1.0 microsegundos en el eje de tiempo izquierdo. Una línea +1.67 corre paralela a esta, comenzando en el punto final derecho de la línea -5V. Se dibuja una línea punteada vertical a través de la gráfica en el punto x=87.5 m.

Y la figura\(\PageIndex{17}\) es la forma de onda de voltaje que obtenemos.

Gráfica de V a x=87.5 m, en términos de t. A alguna t mayor que 0, V va de 0 a 5 V y permanece ahí por algún tiempo antes de caer a 3.33 V y permanecer constante por un tiempo. Después baja a -1.67 V y permanece constante por un tiempo antes de regresar a 0. Todas las transiciones son instantáneas.

Esta vez el\(1.67 \mathrm{~V}\) pulso nos llega antes de que el\(+5 \mathrm{~V}\) pulso haya pasado por completo, y así bajamos de\(5 \mathrm{~V}\) a\(3.33 \mathrm{~V}\). Entonces, cuando pasa la\(-5 \mathrm{~V}\) ola, bajamos a\(-1.67 \mathrm{~V}\) por un rato, hasta que llega la\(+1.67 \mathrm{~V}\) ola para traernos de vuelta a cero.