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6.7: Transformación Bilineal

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    Sin embargo, hay una manera de que podamos facilitarnos un poco las cosas a nosotros mismos. El único inconveniente es que primero tenemos que hacer algunos análisis complejos, ¡y mirar una transformación bilineal! Hagamos una sustitución más, y definamos otro vector complejo, al que podemos llamar rs r s :

    rs| Γ ν |ei( θ r 2βs) r s Γ ν θ r 2 β s

    El vector rs r s es solo la parte giratoria del diagrama de manivela que hemos estado viendo Figura. Tiene una magnitud igual a la del coeficiente de reflexión, y gira alrededor a una velocidad 2βs 2 β s a medida que nos movemos por la línea. Para cada rs r s hay un Zs Z s que viene dada por:

    Zs= Z 0 1+rs1rs Z s Z 0 1 r s 1 r s
    El vector r (s)

    Ahora, resulta ser más fácil si hablamos de una impedancia normalizada, que obtenemos dividiendo Zs Z s por Z 0 Z 0 .

    Zs Z 0 =1+rs1rs Z s Z 0 1 r s 1 r s

    que podemos resolver rs r s

    rs=Zs Z 0 1Zs Z 0 +1 r s Z s Z 0 1 Z s Z 0 1

    Esta relación se llama transformación bilineal. Para cada rs r s que podemos imaginar, hay uno y solo uno Zs Z 0 Z s Z 0 y para cada Zs Z 0 Z s Z 0 hay uno y solo uno rs r s . Lo que nos gustaría poder hacer, es encontrar Zs Z 0 Z s Z 0 , dado un rs r s . La razón de esto debería ser fácilmente evidente. Mientras que, a medida que avanzamos enss, Zs Z 0 Z s Z 0 se comporta de la manera más difícil (dividiendo un fasor por otro), rs r s simplemente gira alrededor en el plano complejo. Dado uno r s 0 r s 0 es fácil encontrar otro rs r s . ¡Simplemente giramos alrededor!

    Encontraremos la relación requerida de manera gráfica. Supongamos que tengo un plano complejo, representando Zs Z 0 Z s Z 0 . Y entonces supongamos que tengo algún punto “A” en ese plano y quiero saber qué impedancia representa. Acabo de leer a lo largo de los dos ejes, y encuentro que, para el ejemplo de la Figura, “A” representa una impedancia de Zs Z 0 =4+2i Z s Z 0 42 . Lo que me gustaría hacer sería conseguir una grilla similar a la del Zs Z 0 Z s Z 0 avión, pero en el rs r s avión en su lugar. De esa manera, si yo supiera una impedence (digamos Z0 Z 0 = Z L Z 0 Z 0 Z 0 Z L Z 0 entonces pude encontrar cualquier otra impedancia, en cualquier otra ss, simplemente rotando rs r s alrededor por 2βs 2 β s , y luego leyendo el nuevo Zs Z 0 Z s Z 0 de la grilla que había desarrollado. Esto es lo que intentaremos hacer.

    El plano de impedancia compleja

    Empecemos con Ecuación y reescribiéndola como:

    rs=Zs Z 0 +12Zs Z 0 +1=1+-2Zs Z 0 +1 r s Z s Z 0 1 2 Z s Z 0 1 1 -2 Z s Z 0 1

    Para poder usar Ecuación, vamos a tener que interpretarla de una manera que te pueda parecer un poco extraña. La forma en que leeremos la ecuación es decir: “Toma Zs Z 0 Z s Z 0 y añádele 1. Invierta lo que obtenga, y multiplíquelo por -2. Después agrega 1 al resultado”. Simple, ¿no es así? La única parte difícil que tenemos al hacer esto es invertir Zs Z 0 +1 Z s Z 0 1 . Esto, resulta, es bastante fácil una vez que aprendemos un hecho muy importante.

    El único dato sobre el álgebra en el plano complejo que necesitamos es el siguiente. Considerar una línea vertical,ss, en el plano complejo, ubicado a una distanciadd lejos del eje imaginario Figura. Hay muchas maneras en las que podríamos expresar la línea ss, pero elegiremos uno que resulte conveniente para nosotros. Vamos a:

    s=d(1ibronceadoφ) f φ :φ π2 π2 s d 1 φ φ φ 2 2
    Una línea vertical, s, una distancia, d, lejos del eje imaginario

    Ahora nos hacemos la pregunta: ¿cuál es la inversa de s?

    1s=1d11ibronceadoφ 1 s 1 d 1 1 φ

    Podemos sustituir bronceadoφ φ :

    1s=1d11ipecadoφcosφ=1dcosφcosφipecadoφ 1 s 1 d 1 1 φ φ 1 d φ φ φ

    Y luego, desde cosφipecadoφ=e(iφ) φ φ φ

    1s=1dcosφe(iφ)=1dcosφeiφ 1 s 1 d φ φ 1 d φ φ
    Una parcela de 1/s

    Una mirada cuidadosa a la Figura debería permitirle convencerse de que la ecuación es una ecuación para un círculo en el plano complejo, con un diámetro 1d 1 d . Sissno es paralelo al eje imaginario, sino que tiene su perpendicular al origen en algún ánguloφφ, para hacer una línea s s Figura. Desde s =seiφ s s φ , tomando 1s 1 s simplemente nos dará un círculo con un diámetro de 1d 1 d , que ha sido girado en un ángulo φφdel eje real Figura. Y así llegamos al único hecho que tenemos que tener en cuenta: “La inversa de una línea recta en el plano complejo es un círculo, cuyo diámetro es el inverso de la distancia entre la línea y el origen”.

    La Línea s'
    La líneassmultiplicado por eiφ φ
    Inversa de una línea girada

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