6.7: Transformación Bilineal
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Sin embargo, hay una manera de que podamos facilitarnos un poco las cosas a nosotros mismos. El único inconveniente es que primero tenemos que hacer algunos análisis complejos, ¡y mirar una transformación bilineal! Hagamos una sustitución más, y definamos otro vector complejo, al que podemos llamar :
El vector es solo la parte giratoria del diagrama de manivela que hemos estado viendo Figura. Tiene una magnitud igual a la del coeficiente de reflexión, y gira alrededor a una velocidad a medida que nos movemos por la línea. Para cada hay un que viene dada por:
Ahora, resulta ser más fácil si hablamos de una impedancia normalizada, que obtenemos dividiendo por .
que podemos resolver
Esta relación se llama transformación bilineal. Para cada que podemos imaginar, hay uno y solo uno y para cada hay uno y solo uno . Lo que nos gustaría poder hacer, es encontrar , dado un . La razón de esto debería ser fácilmente evidente. Mientras que, a medida que avanzamos en, se comporta de la manera más difícil (dividiendo un fasor por otro), simplemente gira alrededor en el plano complejo. Dado uno es fácil encontrar otro . ¡Simplemente giramos alrededor!
Encontraremos la relación requerida de manera gráfica. Supongamos que tengo un plano complejo, representando . Y entonces supongamos que tengo algún punto “A” en ese plano y quiero saber qué impedancia representa. Acabo de leer a lo largo de los dos ejes, y encuentro que, para el ejemplo de la Figura, “A” representa una impedancia de . Lo que me gustaría hacer sería conseguir una grilla similar a la del avión, pero en el avión en su lugar. De esa manera, si yo supiera una impedence (digamos entonces pude encontrar cualquier otra impedancia, en cualquier otra , simplemente rotando alrededor por , y luego leyendo el nuevo de la grilla que había desarrollado. Esto es lo que intentaremos hacer.
Empecemos con Ecuación y reescribiéndola como:
Para poder usar Ecuación, vamos a tener que interpretarla de una manera que te pueda parecer un poco extraña. La forma en que leeremos la ecuación es decir: “Toma y añádele 1. Invierta lo que obtenga, y multiplíquelo por -2. Después agrega 1 al resultado”. Simple, ¿no es así? La única parte difícil que tenemos al hacer esto es invertir . Esto, resulta, es bastante fácil una vez que aprendemos un hecho muy importante.
El único dato sobre el álgebra en el plano complejo que necesitamos es el siguiente. Considerar una línea vertical,, en el plano complejo, ubicado a una distancia lejos del eje imaginario Figura. Hay muchas maneras en las que podríamos expresar la línea , pero elegiremos uno que resulte conveniente para nosotros. Vamos a:
Ahora nos hacemos la pregunta: ¿cuál es la inversa de s?
Podemos sustituir :
Y luego, desde
Una mirada cuidadosa a la Figura debería permitirle convencerse de que la ecuación es una ecuación para un círculo en el plano complejo, con un diámetro . Sino es paralelo al eje imaginario, sino que tiene su perpendicular al origen en algún ángulo, para hacer una línea Figura. Desde , tomando simplemente nos dará un círculo con un diámetro de , que ha sido girado en un ángulo del eje real Figura. Y así llegamos al único hecho que tenemos que tener en cuenta: “La inversa de una línea recta en el plano complejo es un círculo, cuyo diámetro es el inverso de la distancia entre la línea y el origen”.