6.8: La Gráfica Smith
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Ahora veamos cómo podemos usar La Transformación Bilineal para obtener las coordenadas en el avión transferido sobre el avión. La Transformación Bilineal nos dice cómo tomar cualquier y generar un de ella. Empecemos por uno fácil. Supondremos que , que es una línea vertical, que pasa por 1, y puede asumir cualquier parte imaginaria que quiera Figura.
Según The Bilinear Transformar, lo primero que debemos hacer es agregar 1 a . Esto nos da la línea Figura.
Ahora, tomamos la inversa de esto, lo que nos dará un círculo, de diámetro 1/2 Figura. Ahora, según La Transformación Bilineal tomamos este círculo y multiplicamos por -2 Figura.
Y finalmente, tomamos el círculo y le agregamos +1: como se muestra aquí. Ahí, ya terminamos con la transformación. La línea vertical en el plano que representa una impedancia con una parte real de +1 y una parte imaginaria con cualquier valor de a se ha reducido a un círculo con diámetro 1, pasando por 0 y 1 sobre el complejo avión.
Hagamos lo mismo para y . Llamaremos a estas líneas A y B respectivamente, y solo agregaremos estas a los bocetos que ya tenemos Figura. Sigue junto con La transformación bilineal, y mira si puedes averiguar de dónde viene cada uno de estos bocetos. Simplemente volveremos a hacer las mismas cosas: sumar 1 invertir multiplicar por -2 sumar 1 una vez más. Como puedes ver en Figura, Figura, Figura y Figura obtenemos más círculos. Para las líneas dentro de la parte +1 real, terminamos con un círculo que es mayor que el círculo +1, y para las líneas que tienen una parte real mayor que +1, terminamos con círculos que son más pequeños en diámetro que el círculo +1. Todos los círculos pasan por el punto +1 en el plano y son tangentes entre sí.
Hay dos líneas especiales de las que debemos preocuparnos. Uno es , el eje imaginario. Vamos a poner todos los pasos de transformación juntos en Figura. Comenzamos en el eje, desplazamos sobre uno, obtenemos un círculo con diámetro unitario cuando invertimos, crecemos en dos y volteamos alrededor del eje imaginario cuando multiplicamos por -2, y luego saltamos uno a la derecha cuando se agrega +1. Una vez más, debe abrirse camino a través de los diversos pasos para asegurarse de tener una buena comprensión de cómo se supone que debe suceder este procedimiento. Tenga en cuenta que incluso el eje imaginario en el avión se transforma en un círculo cuando vamos sobre el avión.
La otra línea de la que debemos preocuparnos es . Ahora , y , y así la línea se mapea en un punto en 1 cuando hacemos nuestra transformación en el avión. Incluso apunta a en el avión terminan en el avión, y son de fácil acceso!
OK, la Figura es una gráfica de la avión. Las líneas mostradas representan la parte real de que queremos transformar. Los ejecutamos a todos a través de La Transformación Bilineal, para llevarlos a la avión. Ahora tenemos toda una familia de círculos, el mayor de los cuales tiene un diámetro de 2 (que corresponde al eje imaginario) y el más pequeño de los cuales tiene un diámetro de 0 (que corresponde a puntos en) Figura. Todos los círculos encajan uno dentro del otro, y como se agregó un +1 a cada transformada como el bit final de manipulación, todos los círculos pasan por el punto +1, . Los círculos con diámetros más pequeños corresponden a valores mayores de real , mientras que los círculos más grandes corresponden a los valores menores de .
Bueno, estamos a mitad de camino. Ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar la transformación para las líneas coordinadas que corresponden a la parte imaginaria de . Echemos un vistazo a . Cuando sumamos +1 a esto, ¡no pasa nada! La línea apenas se desliza sobre 1 unidad, y se ve igual Figura. Ahora tomamos su inversa. Esto nos da un círculo, pero como la línea que estamos invirtiendo se encuentra en un ángulo de con respecto al eje real, el diámetro mayor del círculo estará en un ángulo de cuando pasamos por el proceso de inversión. Esto nos da un círculo que se encuentra en el región del plano complejo Figura.
Lo siguiente que hacemos es tomar este círculo y multiplicar por -2. Esto hará que el círculo sea el doble de grande, pero también lo reflejará de nuevo en el región del plano complejo Figura.
Y, finalmente, le agregamos 1, lo que hace que el círculo salte uno sobre la Figura derecha.
Podemos hacer lo mismo a otras líneas de parte imaginaria constante y luego podemos agregar más círculos. (O círculos parciales, pues no tiene sentido ir más allá de la círculos, ya que más allá de eso está la región correspondiente a la parte real negativa, que no esperaríamos encontrar en la mayoría de las líneas de transmisión.) Toma al menos uno de los otros círculos dibujados aquí y mira si puedes conseguir que termine en el lugar correcto.
Hay una línea de interés con la que tenemos un poco de cuidado. Ese es el eje real, . Esta línea está a una distancia 0 del origen, y así cuando la invertimos, obtenemos un círculo con diámetro. Eso está bien, porque eso es solo una línea recta. Entonces, el eje real de la plano se transforma en el eje real en el avión.
¡Hemos hecho una cosa de lo más asombro! (Aunque es posible que aún no te des cuenta). Hemos tomado todo el medio plano de impedancia compleja y mapeó todo en un círculo con diámetro 1! Pongamos a los dos uno al lado del otro. (Aunque no podemos mostrar el conjunto plano por supuesto.) Estos se muestran aquí, donde mostramos cómo cada línea en mapea en una línea (curva) en el avión. Tenga en cuenta también, que para cada punto en el plano (“A” y “B”) hay un punto correspondiente en el avión. Escoge un par de puntos más, “C” y “D” y localízalos ya sea en el avión, o el plano, y luego encontrar el punto correspondiente en el otro plano.
Tenga en cuenta que el mapeo no es muy uniforme. Toda la región donde ya sea la parte real o imaginaria de es (un pequeño cuadrado en se mapea en una fracción importante de plano Figura mientras que todo el resto de la plano, todo el camino hacia el infinito en tres direcciones (, , y ) en el resto de circulo Figura.
Esta gráfica o transformación se llama Smith Chart, después del trabajador de Bell Labs que primero lo pensó. Es una solución gráfica muy útil y potente para el problema de la línea de transmisión. En Introducción al Uso del Gráfico Smith dedicaremos un poco de tiempo a ver cómo y por qué puede ser tan útil.