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6.8: La Gráfica Smith

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    Ahora veamos cómo podemos usar La Transformación Bilineal para obtener las coordenadas en el Zs Z 0 Z s Z 0 avión transferido sobre el rs r s avión. La Transformación Bilineal nos dice cómo tomar cualquier Zs Z 0 Z s Z 0 y generar un rs r s de ella. Empecemos por uno fácil. Supondremos que Zs Z 0 =1+iX Z s Z 0 1 X , que es una línea vertical, que pasa por 1, y puede asumir cualquier parte imaginaria que quiera Figura.

    Impedencia Compleja Con Parte Real = +1

    Según The Bilinear Transformar, lo primero que debemos hacer es agregar 1 a Zs Z 0 Z s Z 0 . Esto nos da la línea 2+iX 2 X Figura.

    Añadiendo 1

    Ahora, tomamos la inversa de esto, lo que nos dará un círculo, de diámetro 1/2 Figura. Ahora, según La Transformación Bilineal tomamos este círculo y multiplicamos por -2 Figura.

    Invertiendo
    Multiplicando por -2

    Y finalmente, tomamos el círculo y le agregamos +1: como se muestra aquí. Ahí, ya terminamos con la transformación. La línea vertical en el Zs Z 0 Z s Z 0 plano que representa una impedancia con una parte real de +1 y una parte imaginaria con cualquier valor de (i) a i se ha reducido a un círculo con diámetro 1, pasando por 0 y 1 sobre el complejo rs r s avión.

    Añadiendo 1 Una vez más

    Hagamos lo mismo para Zs Z 0 =0.5+iX Z s Z 0 0.5 X y Zs Z 0 =2+iX Z s Z 0 2 X . Llamaremos a estas líneas A y B respectivamente, y solo agregaremos estas a los bocetos que ya tenemos Figura. Sigue junto con La transformación bilineal, y mira si puedes averiguar de dónde viene cada uno de estos bocetos. Simplemente volveremos a hacer las mismas cosas: sumar 1 invertir multiplicar por -2 sumar 1 una vez más. Como puedes ver en Figura, Figura, Figura y Figura obtenemos más círculos. Para las líneas dentro de la parte +1 real, terminamos con un círculo que es mayor que el círculo +1, y para las líneas que tienen una parte real mayor que +1, terminamos con círculos que son más pequeños en diámetro que el círculo +1. Todos los círculos pasan por el punto +1 en el rs r s plano y son tangentes entre sí.

    Dos ejemplos más
    Agregar +1 a cada
    Invertiendo
    Multiplicar por -2
    El Resultado Final

    Hay dos líneas especiales de las que debemos preocuparnos. Uno es Zs Z 0 =iX Z s Z 0 X , el eje imaginario. Vamos a poner todos los pasos de transformación juntos en Figura. Comenzamos en el eje, desplazamos sobre uno, obtenemos un círculo con diámetro unitario cuando invertimos, crecemos en dos y volteamos alrededor del eje imaginario cuando multiplicamos por -2, y luego saltamos uno a la derecha cuando se agrega +1. Una vez más, debe abrirse camino a través de los diversos pasos para asegurarse de tener una buena comprensión de cómo se supone que debe suceder este procedimiento. Tenga en cuenta que incluso el eje imaginario en el Zs Z 0 Z s Z 0 avión se transforma en un círculo cuando vamos sobre el rs r s avión.

    Otra transformación
    Transformando iX X a la rs r s avión.

    La otra línea de la que debemos preocuparnos es Zs Z 0 =+iX Z s Z 0 X . Ahora +1= 1 , y -2=0.0+1=1 -2 0.0 1 1 , y así la línea 1+iX 1 X se mapea en un punto en 1 cuando hacemos nuestra transformación en el rs r s avión. Incluso apunta a en el Zs Z 0 Z s Z 0 avión terminan en el rs r s avión, y son de fácil acceso!

    OK, la Figura es una gráfica de la Zs Z 0 Z s Z 0 avión. Las líneas mostradas representan la parte real de Zs Z 0 Z s Z 0 que queremos transformar. Los ejecutamos a todos a través de La Transformación Bilineal, para llevarlos a la rs r s avión. Ahora tenemos toda una familia de círculos, el mayor de los cuales tiene un diámetro de 2 (que corresponde al eje imaginario) y el más pequeño de los cuales tiene un diámetro de 0 (que corresponde a puntos en) Figura. Todos los círculos encajan uno dentro del otro, y como se agregó un +1 a cada transformada como el bit final de manipulación, todos los círculos pasan por el punto +1, 0i 0 . Los círculos con diámetros más pequeños corresponden a valores mayores de real Zs Z 0 Z s Z 0 , mientras que los círculos más grandes corresponden a los valores menores de Zs Z 0 Z s Z 0 .

    Otras líneas constantes de piezas reales
    Agregar otra línea de pieza real constante a la Zs Z 0 Z s Z 0 avión.
    Familia de Círculos
    Familia de Zs Z 0 Z s Z 0

    Bueno, estamos a mitad de camino. Ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar la transformación para las líneas coordinadas que corresponden a la parte imaginaria de Zs Z 0 Z s Z 0 . Echemos un vistazo a Zs Z 0 =R+i1 Z s Z 0 R 1 . Cuando sumamos +1 a esto, ¡no pasa nada! La línea apenas se desliza sobre 1 unidad, y se ve igual Figura. Ahora tomamos su inversa. Esto nos da un círculo, pero como la línea que estamos invirtiendo se encuentra en un ángulo de 90 ° 90 ° con respecto al eje real, el diámetro mayor del círculo estará en un ángulo de 90 ° 90 ° cuando pasamos por el proceso de inversión. Esto nos da un círculo que se encuentra en el i región del plano complejo Figura.

    Una línea de parte imaginaria constante
    Después de invertir

    Lo siguiente que hacemos es tomar este círculo y multiplicar por -2. Esto hará que el círculo sea el doble de grande, pero también lo reflejará de nuevo en el i región del plano complejo Figura.

    Mulitply Por -2

    Y, finalmente, le agregamos 1, lo que hace que el círculo salte uno sobre la Figura derecha.

    Y Agrega 1

    Podemos hacer lo mismo a otras líneas de parte imaginaria constante y luego podemos agregar más círculos. (O círculos parciales, pues no tiene sentido ir más allá de la Zs Z 0 =0 Z s Z 0 0 círculos, ya que más allá de eso está la región correspondiente a la parte real negativa, que no esperaríamos encontrar en la mayoría de las líneas de transmisión.) Toma al menos uno de los otros círculos dibujados aquí y mira si puedes conseguir que termine en el lugar correcto.

    La Transformación Completa

    Hay una línea de interés con la que tenemos un poco de cuidado. Ese es el eje real, Zs Z 0 =0+iX Z s Z 0 0 X . Esta línea está a una distancia 0 del origen, y así cuando la invertimos, obtenemos un círculo con diámetro. Eso está bien, porque eso es solo una línea recta. Entonces, el eje real de la Zs Z 0 Z s Z 0 plano se transforma en el eje real en el rs r s avión.

    ¡Hemos hecho una cosa de lo más asombro! (Aunque es posible que aún no te des cuenta). Hemos tomado todo el medio plano de impedancia compleja Zs Z 0 Z s Z 0 y mapeó todo en un círculo con diámetro 1! Pongamos a los dos uno al lado del otro. (Aunque no podemos mostrar el conjunto Zs Z 0 Z s Z 0 plano por supuesto.) Estos se muestran aquí, donde mostramos cómo cada línea en Zs Z 0 Z s Z 0 mapea en una línea (curva) en el rs r s avión. Tenga en cuenta también, que para cada punto en el Zs Z 0 Z s Z 0 plano (“A” y “B”) hay un punto correspondiente en el rs r s avión. Escoge un par de puntos más, “C” y “D” y localízalos ya sea en el Zs Z 0 Z s Z 0 avión, o el rs r s plano, y luego encontrar el punto correspondiente en el otro plano.

    El Mapeo

    Tenga en cuenta que el mapeo no es muy uniforme. Toda la región donde ya sea la parte real o imaginaria de Zs Z 0 Z s Z 0 es 1 1 (un pequeño cuadrado en Zs Z 0 Z s Z 0 se mapea en una fracción importante de rs r s plano Figura mientras que todo el resto de la Zs Z 0 Z s Z 0 plano, todo el camino hacia el infinito en tres direcciones ( , i , y (i) ) en el resto de rs r s circulo Figura.

    Mapeo
    Mapeo 1, 1i 1
    Mapeo del resto

    Esta gráfica o transformación se llama Smith Chart, después del trabajador de Bell Labs que primero lo pensó. Es una solución gráfica muy útil y potente para el problema de la línea de transmisión. En Introducción al Uso del Gráfico Smith dedicaremos un poco de tiempo a ver cómo y por qué puede ser tan útil.


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