1.5: El experimento de doble rendija
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Ahora contamos con las herramientas para modelar el experimento de doble rendija descrito anteriormente. Lejos de la doble rendija, los electrones que emanan de cada hendidura parecen ondas planas; ver Figura\(\PageIndex{1}\), donde\(s\) está la separación entre las rendijas y\(L\) es la distancia a la pantalla de visualización.
En la pantalla de visualización tenemos
\[ \psi(x=L,t) = A\text{ exp}[i(k_{0}r_{1}-\omega_{0}t)]+A\text{ exp}[i(k_{0}r_{2}-\omega_{0}t)] \nonumber \]
La intensidad en la pantalla es
\[ \begin{align*} |\psi|^{2} &= \{ A \text{ exp}[-i\omega_{0}t](\text{exp}[ik_{0}r_{1}]+(\text{exp}[ik_{0}r_{1}])\}\{A \text{ exp}[-i\omega_{0}t](\text{exp}[ik_{0}r_{1}]+(\text{exp}[ik_{0}r_{1}])^{*} \\[4pt] &= |A|^{2} + |A|^{2}\text{ exp}[i(k_{0}r_{2}-k_{0}r_{1})]+|A|^{2}\text{ exp}[i(k_{0}r_{1}-k_{0}r_{2})]+|A|^{2} \\[4pt] &=2|A|^{2} (1+cos(k(r_{2}-r_{1}))) \end{align*} \nonumber \]
donde\(A\) es una constante determinada por la intensidad de la onda electrónica. Ahora de la Figura\(\PageIndex{1}\):
\[ r^{2}_{1}= L^{2}+(s/2 -y)^{2} \nonumber \]
\( r^{2}_{1}= L^{2}+(s/2 +y)^{2} \)
Ahora bien, si\(y \ll s/2\) podemos descuidar el\(y^{2}\) término:
\[ r^{2}_{1}= L^{2}+(s/2)^{2}-sy \nonumber \]
\( r^{2}_{1}= L^{2}+(s/2)^{2}+sy \)
Entonces,
\[ r_{1} \approx \sqrt{L^{2}+(s/2)^{2}}(1-\dfrac{1}{2}\dfrac{sy}{L^{2}+(s/2)^{2}}) \nonumber \]
\( r_{1} \approx \sqrt{L^{2}+(s/2)^{2}}(1+\dfrac{1}{2}\dfrac{sy}{L^{2}+(s/2)^{2}}) \)
Siguiente, si\(L \gg s/2\)
\[ r_{1} \approx L-\dfrac{1}{2}\dfrac{sy}{L} \nonumber \]
\( r_{1} \approx L+\dfrac{1}{2}\dfrac{sy}{L} \)
Así,\(r_{2}-r_{1} = \dfrac{sy}{L}\), y
\[ |\psi|^{2} = 2|A|^{2} (1+cos(ks\dfrac{y}{L})) \nonumber \]
En la pantalla, la interferencia constructiva entre las ondas planas de cada hendidura produce una matriz regular de líneas brillantes, correspondientes a una alta intensidad de electrones. Entre cada par de líneas brillantes, se encuentra una banda oscura donde las ondas planas interfieren destructivamente, es decir, las ondas son\(\pi\) radianes desfasadas entre sí.
\[ \dfrac{2\pi}{\lambda}s\dfrac{y}{L}=2\pi \nonumber \]
Reorganizar,
\[ y=\dfrac{L\lambda}{s} \nonumber \]