1.8: Descripciones de las ondas en el dominio de frecuencia y el espacio

Considera la función de onda

\[ \psi(t)=ae^{-i\omega_{0}t} \nonumber \]

que describe una onda con amplitud a\(|a|^{2}\), intensidad y fase oscilando en el tiempo a frecuencia angular\(\omega_{0}\). Esta onda lleva dos piezas de información, su amplitud y frecuencia angular. \(^{†}\)Describir la onda en términos de a y\(\omega_{0}\) se conoce como la descripción del dominio de la frecuencia. En la Figura 1.8.1, se grafica la función de onda tanto en el dominio de tiempo como de frecuencia.

En el dominio de la frecuencia, la función de onda se describe mediante una función delta en\(\omega_{0}\). Las herramientas para la conversión exacta entre dominios de tiempo y frecuencia se presentarán en la siguiente sección. Tenga en cuenta que, por convención, usamos una función en mayúscula (A en lugar de\(\omega\)) para representar la función de onda en el dominio de la frecuencia. Obsérvese también que la convención en mecánica cuántica es utilizar un signo negativo en la fase al representar la frecuencia angular\(+\omega_{0}\). Esto es conveniente para describir las ondas planas de la forma\(e^{i(kx-\omega t)}\). Pero es exactamente opuesto a la convención habitual en el análisis de señales (es decir, 6.003). En general, cuando veas i en lugar de j para la raíz cuadrada de -1, usa esta convención en los dominios de tiempo y frecuencia.

Figura\(\PageIndex{1}\): Representaciones de la frecuencia angular\(\omega_{0}\) en dominios de tiempo y frecuencia.

Del mismo modo, considere la función de onda

\[ \psi(x)=ae^{ik_{0}x} \nonumber \]

que describe una onda con amplitud a\(|a|^{2}\), intensidad y fase que oscila en el espacio con frecuencia espacial o número de onda,\(k_{0}\). Nuevamente, esta onda lleva dos piezas de información, su amplitud y número de onda. Podemos describir esta onda en términos de sus frecuencias espaciales en el espacio k, el equivalente del dominio de frecuencia para ondas espacialmente oscilantes. En la Figura 1.8.2, trazamos la función de onda en el espacio real y el espacio k.

Figura\(\PageIndex{2}\): Representaciones del número de onda\(k_{0}\) en el espacio real y el espacio k.

A continuación, consideremos la función de onda

\[ A(\omega) = ae^{i\omega t_{0}} \nonumber \]

que describe una onda con amplitud a\(|a|^{2}\), intensidad y fase que oscila en el dominio de frecuencia con periodo\(2\pi/t_{0}\). Esta onda lleva dos piezas de información, su amplitud y el tiempo\(t_{0}\). En la Figura 1.8.3, se grafica la función de onda tanto en el dominio de tiempo como de frecuencia.

Figura\(\PageIndex{3}\): Representaciones del tiempo\(t_{0}\) en dominios de tiempo y frecuencia.

Por último, considere la función de onda

\[ A(k) = ae^{-ikx_{0}} \nonumber \]

que describe una onda con amplitud a\(|a|^{2}\), intensidad y fase oscilando en k-espacio con periodo\(2\pi/x_{0}\). Esta onda lleva dos piezas de información, su amplitud y la posición\(x_{0}\). En la Figura 1.8.4, trazamos la función de onda tanto en el espacio real como en el espacio k.

Figura\(\PageIndex{4}\): Representaciones de la posición\(x_{0}\) en el espacio real y en el espacio k.

Tenga en cuenta que, por convención, usamos una función en mayúscula (A en lugar de\(\psi\)) para representar la función wavefunction en el dominio k -space.

Observe en la Figura 1.8.1-Figura 1.8.4 que es imposible una definición precisa tanto de la posición en el tiempo como de la frecuencia angular de una onda. Una función de onda con frecuencia angular de precisión\(\psi_{0}\) se distribuye uniformemente en todo el tiempo. De manera similar, una función de onda asociada con un tiempo preciso\(t_{0}\) contiene todas las frecuencias angulares.

En real y k-espacio tampoco podemos definir con precisión tanto el número de onda como la posición. Una función de onda con un número de onda de precisión\(k_{0}\) se distribuye uniformemente por todo el espacio. De manera similar, una función de onda localizada en una posición precisa\(x_{0}\) contiene todos los números de onda.

\(^{†}\)Anote la información en cualquier desplazamiento de fase constante,\(\phi\), como in\(\psi= \text{ exp}[i\omega_{0}t+i\phi]\) puede estar contenida en el prefactor de amplitud, es decir\(\psi= a\text{ exp}[i\omega_{0}t]\), donde\(a=\text{exp}[i\phi]\).