1.14: Teorema de Parseval

A menudo es conveniente normalizar una bolsa de ondas en el espacio k. Para ello, podemos aplicar el teorema de Parseval.

Consideremos el corchete de dos funciones, f (x) y g (x) con los pares de transformada de Fourier F (k) y G (k), respectivamente.

\[ \langle f|g\rangle = \int^{\infty}_{-\infty} f(x)^{*}g(x)dx \nonumber \]

Ahora, reemplazar las funciones por sus transformadas de Fourier rinde

\[ \int^{\infty}_{-\infty} f(x)^{*}g(x)dx=\int^{\infty}_{-\infty}[\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)e^{-ik’x}dk’]^{*}[\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}G(k)e^{-ikx}dk]dx \nonumber \]

Reorganizar el orden de integración da

\[ \int^{\infty}_{-\infty}[\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)e^{-ik’x}dk’]^{*}[\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}G(k)e^{-ikx}dk]dx \nonumber \]

\( =\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)*G(k)\frac{1}{2\pi}e^{-i(k-k’)x}dxdk’dk \)

De la Ecuación (1.9.6) la integración sobre el exponencial complejo produce una función delta

\[ \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)*G(k)\frac{1}{2\pi}e^{-i(k-k’)x}dxdk’dk = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)^{*}G(k)\delta (k-k’)dk’dk \nonumber \]

Por lo tanto,

\[ \int^{\infty}_{-\infty}f(x)^{*}g(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(k)^{*}G(k)dk \nonumber \]

De ello se deduce que si una función de onda se normaliza en el espacio real, también se normaliza en el espacio k-, es decir,

\[ \langle \psi|\psi \rangle = \langle A|A \rangle \nonumber \]

donde

\[ \langle A|A \rangle = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty}A(k)^{*}A(k)dk \nonumber \]