1.21: Ecuación de Onda de Schrödinger

La energía de nuestro electrón se puede romper en dos partes, cinética y potencial. Podríamos escribir esto como

\[ \text{total energy} = \text{kinetic energy} + \text{potential energy} \nonumber \]

Ahora la energía cinética está relacionada con el impulso

\[ \text{kinetic energy} = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{p^{2}}{2m} \nonumber \]

Así, usando nuestros operadores, podríamos escribir

\[ \hat{E}\psi(x,t)=\frac{\hat{p}^{2}}{2m} \psi(x,t)+\hat{V} \psi(x,t) \nonumber \]

Dónde\(\hat{V}\) está el potencial operador de energía.

\[ \hat{V}=V(x,t) \nonumber \]

Podemos reescribir la ecuación (1.21.3) en una forma aún más simple definiendo el llamado operador hamiltoniano

\[ \hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\hat{V} \nonumber \]

Ahora,

\[ \hat{E}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle \nonumber \]

O podríamos reescribir la expresión como

\[ i\hbar \frac{d}{dt}\psi(x,t)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} \psi(x,t) +V(x,t)\psi(x,t) \nonumber \]

Todas estas ecuaciones son declaraciones de la ecuación de onda de Schrödinger. Podemos emplear cualquier forma que sea más conveniente.