1.23: La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Cuando la energía potencial es constante en el tiempo podemos simplificar la ecuación de onda. Suponemos que las dependencias espaciales y temporales de la solución pueden separarse, i.e.

\[ \Psi(x,t)=\psi(x)\zeta(t) \nonumber \]

Sustituyendo esto en la Ecuación (1.21.7) da

\[ i\hbar\psi(x)\frac{d}{dt}\zeta(t)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\zeta(t)\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)+V(x)\psi(x)\zeta(t) \nonumber \]

Dividiendo ambos lados por\(\psi(x)\zeta(t)\) rendimientos

\[ i\hbar\frac{1}{\zeta(t)}\frac{d}{dt}\zeta(t)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{1}{\psi(x)}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)+V(x). \nonumber \]

Ahora el lado izquierdo de la ecuación es una función solo del tiempo mientras que el lado derecho es una función solo de posición. Estos son iguales para todos los valores de tiempo y posición si cada lado es igual a una constante. Esa constante resulta ser la energía, E, y obtenemos dos ecuaciones acopladas

\[ E\zeta(t)=i\hbar\frac{d}{dt}\zeta(t) \nonumber \]

y

\[ E\psi(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x) +V(x)\psi(x) \nonumber \]

La solución a la Ecuación (1.23.4) es

\[ \zeta(t)=\zeta(0)\text{exp}[-i\frac{E}{\hbar}t] \nonumber \]

Así, la solución completa es

\[ \Psi(x,t)=\psi(x)\text{exp}[-i\frac{E}{\hbar}t] \nonumber \]

Al separar la función de onda en funciones de tiempo y espaciales, solo necesitamos resolver la Ecuación simplificada (1.23.5).

Hay mucho más que decir sobre esta ecuación, pero primero hagamos algunos ejemplos.