Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2.9: Condiciones Periódicas de Límites

  • Page ID
    84395
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Por lo general, nuestro material no existe de forma aislada, sino que puede estar conectado a contactos, por ejemplo. Entonces tenemos un problema: A la hora de determinar su estructura energética, ¿cómo tratamos los límites entre nuestro mundo material y el resto del mundo físico?

    En primer lugar, si el material es lo suficientemente grande (por ejemplo, si un cable cuántico es lo suficientemente largo), los límites no afectarán significativamente los estados electrónicos en la mayoría del material. Si esto es cierto, podemos elegir cualquier condición de límite que sea conveniente. En efecto, continuaremos por el momento asumiendo que podemos elegir condiciones de límite convenientes. Pero tenga en cuenta que en los dispositivos a nanoescala, las condiciones límite pueden ser problemáticas; vea la discusión previa sobre materiales 0-d acoplados a contactos.

    Cuando los límites no dominan las propiedades del material, la elección habitual son las condiciones de contorno periódicas. Como se muestra en la Figura 2.9.1, para aplicar condiciones de contorno periódicas, tomamos la función de onda del material y hacemos copias infinitas en las direcciones no confinadas. Esto nos da la capacidad de analizar electrones viajando en esas direcciones en el material. Después de todo, si solo se estudiaba una sola copia aislada del material, el material no podría soportar electrones viajantes, solo ondas estacionarias.

    Captura de pantalla 2021-04-15 a las 22.14.11.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Dadas las condiciones de límite periódicas, solo se permiten ciertos valores k en la dirección “no confinada” de un cable cuántico.

    Pero forzar la periodicidad en el espacio real afecta a la transformada de Fourier de la función de onda. En el espacio k, la función de onda periódica es discreta. Por ejemplo, en el eje largo de un cable cuántico de longitud L, los valores k permitidos están espaciados por

    \[ \Delta k = \frac{2\pi}{L} \nonumber \]

    Cada valor k permitido corresponde a una onda plana, y cada valor k permitido corresponde a una función de onda de electrones discreta con una energía característica. Como veremos, conocer la separación de k -estados en k -espacio nos permite contar fácilmente el número de estados de electrones en el material.

    La otra manera de pensar acerca de la limitación a ciertos valores k discretos en un material periódico es recordar que cualquier estructura periódica soporta modos. En consecuencia, solo hay ciertos evectores de onda permitidos para electrones deslocalizados en una molécula periódica. Caracterizamos estos modos por su separador de ondas, k dado por\(k = 2\pi n/Na_{0}=2\pi n/L\), donde L es la longitud de la molécula. Los k estados permitidos son, por lo tanto:

    \[ k = 0, \pm \frac{2\pi}{L}, \pm \frac{4\pi}{L}, \pm\frac{6\pi}{L},… \nonumber \]

    Captura de pantalla 2021-04-15 a las 22.18.35.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Varios modos en un anillo. Debido a que el anillo es periódico, solo los evectores de onda,\(k = 2\pi n/L\) dan estados estables, donde L es el perímetro del anillo y n es un entero.

    Así, en un conductor donde se han aplicado condiciones de límite periódicas, el espaciamiento de los k estados permitidos está determinado por la longitud del conductor.


    This page titled 2.9: Condiciones Periódicas de Límites is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Marc Baldo (MIT OpenCourseWare) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.