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2.11: Condiciones Periódicas de Límite en 2-D

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    84390
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    La aplicación de condiciones de contorno periódicas a los materiales 2d sigue los mismos principios que en 1d.

    Supongamos que los ejes largos del pozo cuántico están alineados con los ejes x e y, y que las dimensiones del pozo cuántico lo son\(L_{x} \times L_{y}\). Cuando aplicamos condiciones de contorno periódicas, el sistema infinito es periódico tanto en el eje x (punto\(L_{x}\)) como en el eje y (período\(L_{y}\)).

    Primero, consideremos la periodicidad en el eje x; ver Figura 2.11.1.

    Captura de pantalla 2021-04-15 a las 22.37.40.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): El pozo cuántico, asumiendo condiciones de límite periódicas en el eje x.

    En el eje x la función de onda es una onda plana.

    \[ \psi_{x}(x)=\text{exp}[ik_{x}x] \nonumber \]

    Bajo condiciones de contorno periódicas, solo se permiten\(k_{x}\) valores discretos

    \[ k_{x}=n_{x}\frac{2\pi}{L_{x}} \nonumber \]

    donde\(n_{x}\) es un entero.

    Del mismo modo, para la periodicidad en el eje y:

    Captura de pantalla 2021-04-15 a las 22.40.33.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): El pozo cuántico, asumiendo condiciones de límite periódicas en el eje y.

    la función de onda en el eje y

    \[ \psi_{y}y=\text{exp}[ik_{y}y] \nonumber \]

    está restringido a\(k_{y}\) valores discretos:

    \[ k_{y}=n_{y}\frac{2\pi}{L_{y}} \nonumber \]

    donde\(n_{y}\) es un entero.

    Así, en el espacio k los k-estados permitidos están espaciados regularmente, con:

    \[ \Delta k_{x}=\frac{2\pi}{L_{x}}, \Delta k_{y} = \frac{2\pi}{L_{y}} \nonumber \]

    En general, el área ocupada en k -espacio por k -estado es:

    \[ \Delta k^{2} = \Delta k_{x}\Delta k_{y} =\frac{2\pi}{L_{x}}\frac{2\pi}{L_{y}}= \frac{4\pi^{2}}{A} \nonumber \]

    donde A es el área del pozo cuántico.

    Captura de pantalla 2021-04-15 a las 22.46.41.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): En el espacio k solo se permiten ciertos valores discretos. Cada estado ocupa un área de\(4\pi^{2}/L_{x}L_{y}\).

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