2.12: La densidad 2-D de los Estados - Pozos cuánticos confinados en 1-D
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Mostramos arriba que la energía de los electrones en un pozo cuántico es
\[ E = \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL_{z}^{2}}n^{2}+\frac{\hbar^{2}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})}{2m},\ n=1,2, \dots \nonumber \]
Para el cálculo de DOS, los detalles del potencial de confinamiento son irrelevantes; observamos únicamente que el electrón no está confinado en dos dimensiones. Si el pozo cuántico tiene área\(L_{x}\times L_{y}\) entonces cada valor permitido de k-espacio ocupa un área de\(2\pi/L_{x} \times 2\pi/L_{y}\).
Es conveniente convertir a coordenadas cilíndricas\((k,\phi,z)\) donde k es la magnitud del vector k en el plano x-y. El número de estados dentro de un anillo de espesor dk es entonces
\[ n_{s}(k)dk=2 \times \frac{1}{4\pi^{2}/A}\times 2\pi kdk \nonumber \]
donde\(A=L_{x} \times L_{y}\), y de nuevo nos hemos multiplicado por dos para dar cuenta del espín electrónico.
Ahora k se relaciona con la energía por
\[ E-E_{n}=\frac{\hbar ^{2}k^{2}}{2m},\ E\geq E_{n} \nonumber \]
Así, a partir de la Ecuación 2.12.3,
\[ g(E)dE = \frac{Am}{\pi \hbar^{2}}\sum_{n}u(E-E_{n})dE , \nonumber \]
donde u es la función de paso de unidad. El DOS se representa en la Figura 2.12.2.