3.8: Cálculos analíticos de los efectos de la carga

El método más preciso para determinar las características IV de un dispositivo de punto cuántico es resolver el potencial y la densidad de carga siguiendo el esquema de la Figura 3.7.4. Esto a menudo se conoce como el enfoque autoconsistente ya que el cálculo concluye cuando la suposición inicial para el potencial U se ha modificado de tal manera que es consistente con el valor de U calculado a partir de la densidad de carga.

Desafortunadamente, los enfoques numéricos pueden oscurecer la física. En esta sección haremos algunas aproximaciones para permitir un cálculo analítico de la carga. Supondremos operación a T = 0K, y niveles discretos de energía molecular, es decir, acoplamiento débil entre la molécula y los contactos tales que\((\Gamma = \hbar/\tau) \rightarrow 0\).

Consideremos un estado LUMO con energía\(E_{\text{LUMO}}\) que está por encima del nivel de equilibrio Fermi. Bajo sesgo, la energía del LUMO se ve alterada por cambios electrostáticos e inducidos por carga en el potencial. Cuando aplicamos el potencial de fuente de drenaje, es conveniente suponer que la molécula está molida. Bajo esta convención, el único cambio en el potencial de la molécula se debe a la carga. Gráficamente, la física puede representarse trazando el nivel de energía de la molécula en presencia y ausencia de carga. En la Figura 3.8.1, a continuación, sombreamos la región entre las LUMO cargadas y no cargadas. Ahora

\[ U_{C} = \frac{q^{2}}{C_{ES}}(N-N_{0}) , \nonumber \]

y a T = 0K,\(N_{0}=0\) para la LUMO en la Figura 3.8.1. Así, el área de la región sombreada es proporcional a la carga sobre la molécula.

Figura\(\PageIndex{1}\): Bajo sesgo, los niveles de energía de la molécula pueden ser desplazados por cambios electrostáticos e inducidos por carga en el potencial. Si asumimos que la molécula está molida, entonces los cambios electrostáticos de potencial alteran la fuente y el drenaje. Solo la carga altera entonces el nivel de energía molecular. La diferencia entre los niveles de energía molecular cargada y no cargada es proporcional a la carga en la molécula y es de color rojo sombreado.

El enfoque gráfico es una guía útil para el comportamiento del dispositivo. Hay tres regiones de operación, cada una de las cuales se muestra a continuación.

Figura\(\PageIndex{2}\): Las tres regiones de operación para un dispositivo de punto cuántico de dos terminales con niveles de energía discretos a T = 0K. El flujo de corriente requiere que la fuente inyecte portadores en los niveles de energía molecular. El inicio del flujo de corriente ocurre cuando el potencial químico de la fuente es resonante con el LUMO. El sesgo adicional drenaje-fuente carga la molécula, y la corriente aumenta linealmente con la carga molecular. Finalmente, se alcanza una densidad de carga máxima. Los aumentos adicionales en la polarización aplicada no aumentan la energía de carga ni el flujo de corriente.

Sin carga

A T = 0K y no\(V_{DS}=0\) hay cargo en la LUMO. La carga no puede ocurrir a menos que los electrones puedan ser inyectados desde la fuente al LUMO. Entonces, a medida que\(V_{DS}\) aumenta, la carga sigue siendo insignificante hasta que la energía LUMO se alinea con el potencial químico de la fuente. Así, para\(\mu_{S} < E_{\text{LUMO}}\) la energía de carga,\(U_{C} = 0\).

En esta región,\(I_{DS}=0\). Definimos el sesgo en el que la corriente comienza a fluir como\(V_{DS}=V_{ON}\). \(V_{ON}\)está dado por

\[ V_{ON}=\frac{E^{0}_{\text{LUMO}} -\mu_{S}}{q\eta} \nonumber \]

donde\(E^{0}_{\text{LUMO}}\) está el nivel de energía LUMO en equilibrio.

Carga máxima

Para\(\mu_{S} > E_{\text{LUMO}}\), el cobro sobre la LUMO es independiente de nuevos aumentos en\(V_{DS}\). Es un máximo. De la Ecuación (3.7.8), la carga máxima de LUMO es

\[ N^{\text{max}}=\frac{2\tau_{D}}{\tau_{S}+\tau_{D}} \nonumber \]

En consecuencia, la energía de carga es

\[ U^{\text{max}}_{C} = \frac{2q^{2}}{C_{ES}} \frac{\tau_{D}}{\tau_{S}+\tau_{D}} \nonumber \]

Para todas las operaciones en polarización directa, es conveniente calcular la corriente a partir de la Ecuación (3.7.6). A T = 0K, las cargas inyectadas por el desagüe\(N_{D} = 0\). En consecuencia,

\[ I_{DS}=\frac{qN^{max}}{\tau_{D}}=\frac{2q}{\tau_{S}+\tau_{D}} \nonumber \]

La carga máxima ocurre para los voltajes\(\mu_{S} > E_{\text{LUMO}}\). Podemos reescribir esta condición como

\[ (V_{DS}-V_{ON}) > U_{C}^{max}/\eta q \nonumber \]

Carga variable

Las energías de carga entre\(0 < U_{C} < U_{C}^{max}\) requieren eso\(\mu_{S} = E_{\text{LUMO}}\). Suponiendo que la molécula se toma como la tierra electrostática, entonces\(\mu_{S} = E_{\text{LUMO}} = U_{C}\) para esta región de operación. Calcular la corriente a partir de la Ecuación (3.7.6) da

\[ I_{DS}=\frac{qN}{\tau_{D}} \nonumber \]

Entonces, dado eso\(U_{C}=q^{2}N/C_{ES}\), podemos reorganizar la Ecuación (3.8.7) para obtener

\[ I_{DS} = \frac{C_{ES}U_{C}}{q\tau_{D}} \nonumber \]

Luego, a partir de las ecuaciones (3.6.3) y (3.6.4) y señalando que\(\mu_{S}=E_{\text{LUMO}} = U_{C}\),

\[ I_{DS} = \frac{C_{ES}}{\tau_{D}}\eta (V_{DS}-V_{ON}) . \nonumber \]

Esta región es válida para voltajes

\[ 0 < (V_{DS}-V_{ON}) < U_{C}^{max}/\eta q . \nonumber \]

A continuación se muestra la característica IV completa. Bajo nuestros supuestos, las transiciones entre las tres regiones de operación son agudas. Para T > 0K y\((\Gamma = \hbar/\tau) > 0\) estas transiciones son borrosas y se calculan mejor numéricamente; vea el conjunto de problemas.

Figura\(\PageIndex{3}\): (a) Un ejemplo de un dispositivo de molécula única sujeto a fuertes efectos de carga. El acoplamiento entre la molécula y los contactos es pequeño en relación con el voltaje aplicado, es decir\(\Gamma_{S}/q=\Gamma_{D}/q=1\ mV\). Las capacitancias de fuente y drenaje producen un gran potencial de carga por electrón\(q^{2}/C_{ES}=0.8\ eV\). El factor de división de voltaje es\(\eta=0.5\). (b) El desplazamiento entre la LUMO y las funciones de trabajo por contacto es de 0.3 eV, en consecuencia,\(V_{ON}=0.3/\eta=0.6V\) (c) La característica de corriente-voltaje.