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# 3.11: Problemas

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1.

(a) Una molécula de 1 nm × 1 nm está a 30 Å de un contacto metálico. Calcule la capacitancia electrostática utilizando el modelo de placa paralela del condensador. Encuentre el cambio en el potencial por carga agregada a la molécula,$$U_{ES}/\delta n$$.

(b) Una molécula de 50 nm × 50 nm está a 30 Å de un contacto metálico. Calcule la capacitancia electrostática utilizando el modelo de placa paralela del condensador. Encuentre el cambio en el potencial por carga agregada a la molécula,$$U_{ES}/\delta n$$.

(c) Una molécula de 100 nm × 100 nm está a 30 Å de un contacto metálico. Calcule la capacitancia electrostática utilizando el modelo de placa paralela del condensador. Encuentre el cambio en el potencial por carga agregada a la molécula,$$U_{ES}/\delta n$$.

2.

a) Supongamos que la molécula en el problema 1 (a) tiene una densidad uniforme de estados de$$g(E)=3\times 10^{20}/eV$$ y nivel de Fermi$$E^{0}_{F} = -5.7eV$$ en el espacio aislado. El metal tiene una función de trabajo de 5eV. Esbozar todos los niveles de energía en equilibrio después de que el contacto con el metal y la molécula se ponen en contacto. Encuentra el número de cargas,$$\delta_{n}$$, transferidas de la molécula al metal (o viceversa.).

b) Repetir la parte (a) para la molécula en el problema 1 (b) utilizando la misma densidad de estados y niveles de Fermi.

c) Repetir la parte (a) para la molécula en el problema 1 (c) usando la misma densidad de estados y niveles de Fermi.

3. Considere la molécula ilustrada a continuación con$$E_{A}=2eV,\ I_{P}=5eV, \text{ and } E_{F}^{0}=3.5eV$$.

(a) ¿Qué es$$C_{Q}$$ cuando la vida útil del electrón es$$\tau=\infty$$, 1ps, 1fs?

(b) Para cada una de las vidas en la parte (a), cuál es el nivel de Fermi de equilibrio cuando se agrega$$\delta n = 0.1$$ carga a la molécula.

(c) ¿Cuál es el nivel de equilibrio de Fermi cuándo$$\tau_{HOMO}=.1ps$$ y$$\tau_{LUMO}=1ps$$?

4. Un pozo cuántico se pone en contacto con un electrodo metálico como se muestra en la siguiente figura.

(a) Calcular el DOS en el pozo entre 0 y 2eV asumiendo un potencial de confinamiento infinito y que el potencial dentro del pozo es cero.

(b) En contacto la carga puede fluir entre el metal y el pozo cuántico. Pero supongamos que al entrar en contacto el pozo todavía está separado del metal por una capa de 0.1nm de espesor con constante dieléctrica$$5\times8.84\times10^{-12}F/m$$. Calcular la densidad de carga superficial en equilibrio, para una separación inicial de (i) 0.6eV y (ii) -0.6eV, entre el pozo cuántico$$E_{F}$$ y el potencial químico del metal. Supongamos T=0.

(c) Trazar el desplazamiento de energía de vacío en cada interfaz en equilibrio, para la parte b (i) y (ii), arriba.

La siguiente pregunta está adaptada de un ejemplo en “Introductorio Aplicado a la Mecánica Cuántica y Estadística” de Hagelstein, Senturia y Orlando, Wiley Interscience 2004.

5. En este problema consideramos la inyección de carga a partir de un nivel de energía discreto en lugar de un metal. Considere el transporte de carga a través de un punto cuántico enterrado dentro de un aislante. Los materiales son Gaas|Gaalas|Gaas|Gaalas|Gaas con espesores 1000Å|40Å|100Å|40Å|1000Å. El panorama potencial de este dispositivo se modela de la siguiente manera con$$V_{0}=0.3eV,\ b=50Å, \text{ and } a=90Å$$. Que sea la masa efectiva de un electrón en GaAs y GaAlAs$$0.07m_{e}$$, donde$$m_{e}$$ está la masa de un electrón.

Considerando solo energías por debajo de V0, la función de onda es continua por partes con

\ (\ left\ {\ begin {array} {l}
\ psi_ {1} =e^ {i k x} +B e^ {-i k x}\
\ psi_ {2} =C e^ {-\ alfa x} +D e^ {\ alpha x}\\ alpha x}
\\ psi_ {3} =F e^ {i k x} +G e^ {-i k x},\ texto donde} k=\ frac {\ sqrt {2 m E}} {\ hbar}\ texto {y}\ alpha=\ frac {\ sqrt {2 m\ izquierda (V_ {0} -E\ derecha)}} {\ hbar}\\
\ psi_ {4} =H e^ {-\ alfa x} +I e^ {\ alfa x}\
\ psi_ {5} =J e^ {i k x}
\ final {matriz}\ derecha.\)

a) Coincidir con las condiciones de contorno y encontrar$$\overline{\overline{M}}$$ tal que$$\overline{\overline{M}} \overline{C} = \overline{A}$$, donde

\ (\ bar {C} =\ left (\ begin {array} {c}
B\\
C\\
D\\
F\\
G\\
H\\
I\\
J
\ end {array}\ derecha)\ text {y}\ bar {A} =\ left (\ begin {array} {c}
e^ {-i k a}\\
i k e^ {-i k a}\\
0\
0\\
0\ 0\\
0\\
0\\
0
\ end {array}\ derecha)\)

b) El coeficiente de transmisión es$$T=|J|^{2}=|\overline{C}(8)|^{2}$$, donde$$\overline{C} = \overline{\overline{M}}^{-1}\overline{A}$$. Determinar T numéricamente o de otra manera. Se traza a continuación como una función de la energía electrónica, E. Verificar que las energías resonantes donde T = 1 están dentro de un factor de dos de las energías propias de un pozo cuadrado infinito con ancho L=2b. Tenga en cuenta que esta aproximación para las energías resonantes funciona mejor para pozos cuadrados más profundos ($$V_{0}$$grandes).

(c) ¿Por qué los anchos de las resonancias en el coeficiente de transmisión aumentan a mayor energía electrónica?

(d) Ahora supongamos que aplicamos un voltaje a través de este dispositivo. Los electrones en la parte inferior de la banda de conducción$$E_{C}$$ en los GaAs en el lado izquierdo darán un flujo de corriente neto que es proporcional al coeficiente de transmisión T.

Primero consideremos solo un nivel de energía discreta$$E_{0}$$ en el punto como se muestra en la parte (a) de la siguiente figura. Supongamos que la caída de potencial es lineal (el campo eléctrico F es constante) en todo el dispositivo, como se muestra en la parte (b) de la figura a continuación.

Esboce cualitativamente cómo cree que se verá la curva de corriente-vs-voltaje. Debería verse bastante diferente a la característica IV de un punto cuántico con contactos metálicos. Explique la diferencia.

e) Aproximándose$$E_{0}$$ como estado fundamental de un pozo cuadrado infinito, ¿cuál es la expresión de la tensión resonante en términos de$$W_{2}$$, asumiendo$$W_{1}=W_{3}$$?

(f) Sin resolver para la función de onda, esbozar cualitativamente cómo se verá la densidad de probabilidad del estado propio más bajo de un pozo infinito cuando se distorsiona por un campo eléctrico. ¿Dónde en el pozo tiene la mayor probabilidad de encontrar un electrón?

(g) Ahora bien, si consideramos los múltiples niveles de energía discreta en el punto, ¿cómo será la curva de corriente-voltaje?

(h) Determinar analíticamente la corriente a través del punto a la resonancia de 0.27eV. Pista: considerar el ancho de la resonancia.

6. Considere los dos dispositivos moleculares terminales que se muestran a continuación. Obsérvese que este cálculo difiere del cálculo anterior de cobro al considerar el transporte a través del HOMO en lugar del LUMO.

(a) Estimar el ancho del HOMO desde$$\tau_{S}$$ y$$\tau_{D}$$.

(b) Suponiendo que la molécula puede modelarse como un conductor fuente puntual de radio 2nm, calcular la energía de carga por electrón. Compare con la energía de carga determinada a partir de los valores de capacitancia mostrados en la Figura 3.11.9.

c) Suponiendo que la energía de carga es despreciable, calcular la$$I_{DS}-V_{DS}$$ característica y trazarla.

d) Ahora considere cobrar con$$q^{2}/C_{ES} = 1eV$$. ¿Cómo altera la carga la corriente máxima y enciende el voltaje (el valor más bajo de$$V_{DS}$$ cuando fluye la corriente)?

(e) Demostrar que el número de electrones en el HOMO es al menos

$$N=2\frac{\tau_{D}}{\tau_{S}+\tau_{D}}$$

(f) ¿Cuál es la energía máxima de carga cuando$$q^{2}/C_{ES} = 1eV$$?

(g) Suponiendo que la energía de carga es insignificante, graficar el nivel de energía del HOMO junto con las funciones de trabajo de fuente y drenaje para$$V_{DS} = 2V$$. En la misma parcela, indicar el nivel de energía del HOMO cuando$$q^{2}/C_{ES} = 1eV$$ y$$V_{DS} = 2V$$. ¿Cuál es la energía de carga en este sesgo?

(h) Calcular la$$I_{DS}-V_{DS}$$ característica cuándo$$q^{2}/C_{ES} = 1eV$$. Trócalo encima de la$$I_{DS}-V_{DS}$$ característica calculada para carga insignificante.

7. Considere los dos dispositivos moleculares terminales que se muestran en la siguiente figura. Esta pregunta considera la conducción tanto a través del HOMO como del LUMO, así como el efecto de las tasas de inyección y capacitancias no coincidentes de fuente y drenaje.

Tenga en cuenta que: T = 0K;$$C_{S} = 2C_{D}$$;$$\tau_{S} = 1ps$$;$$\tau_{D} = 9ps$$

a) Estimar el ancho del HOMO y LUMO a partir de$$\tau_{S}$$ y$$\tau_{D}$$.

b) Si se$$C_{D} = 1pF$$ calcula la energía de carga por electrón.

(c) Trazar la característica de corriente-voltaje (IV) desde$$V_{DS} = -10V$$ hasta$$V_{DS} = 10V$$ asumiendo que la energía de carga es igual a cero.

d) Supongamos que la energía de carga es ahora de 1eV por electrón. ¿Qué es$$C_{D}$$?

e) Trazar el IV desde$$V_{DS} = 0V$$ hasta$$V_{DS} = 10V$$ asumiendo que la energía de carga es de 1eV por electrón.

(f) Trazar el IV desde$$V_{DS} = -10V$$ hasta$$V_{DS} = 0V$$ asumiendo que la energía de carga es de 1eV por electrón. Pista: se debe encontrar una región de esta característica IV en la que el HOMO y LUMO se están cargando juntos, aumentando la corriente pero dejando la carga neta sobre la molécula sin cambios. En consecuencia, su característica IV debe exhibir un cambio de paso en la corriente a un voltaje particular.

8. Un alambre cuántico con sección transversal cuadrada con un lado de espesor de 1 nm se dobla y fusiona en un anillo circular con radio R= 2nm como se muestra a continuación.

(a) Trazar el DOS en el cable de E = 0 a E = 0.8eV. Asumir un potencial de confinamiento infinito y que el potencial en el anillo es V = 0.

(b) A continuación se coloca el anillo entre los contactos como se muestra. ¿Cuál es la energía de carga?

(c) Trazar la corriente versus voltaje para V de 0 a 1.1V.

d) Se aplica un campo magnético perpendicular al anillo. Esbozar los cambios en el IV.

Las siguientes tres preguntas han sido adaptadas de F. Zahid, M. Paulsson, y S. Datta, “Conducción eléctrica en moléculas”. En Semiconductores Avanzados y Nanotécnicas Orgánicas, ed. H. Korkoc. Prensa Académica (2003).

9.

a) Calcular numéricamente las características de corriente-voltaje y conductación-voltaje para el sistema mostrado en la Figura 3.11.13 con los siguientes parámetros:

\ (\ eta = 0.5\\
E_ {F} =-0.5\ eV\\
HOMO = -5.5\ eV\
\ Gamma_ {S} =\ Gamma_ {D} = 0.1 eV\\
T = 298K\)

Establezca la energía de carga a cero, es decir, tomar$$C_{ES} \rightarrow \infty$$.

Consejos

(1) A pesar de la afirmación de que$$\Gamma_{S} = \Gamma_{D} = 0.1\ eV$$, se asume que el HOMO en este problema es infinitamente agudo. Simplificar las Ecuaciones (3.7.7) y (3.7.8) para$$g(E-U)=2\delta (E-U-\epsilon)$$, donde$$\epsilon$$ está la energía del HOMO.

(2) Deberá implementar el diagrama de flujo que se muestra en la Figura 3.7.4. Si su solución para U oscila y no converge, intente establecer$$U=U_{old}+\alpha(U_{calc}-U_{old})$$, donde$$U_{calc}$$ está la solución a la Ecuación (3.6.6),$$U_{old}$$ es la estimación de U de la iteración anterior y$$\alpha$$ es un número pequeño que puede reducirse para obtener convergencia.

b) Repetir el cálculo numérico de la parte (a) con$$q^{2}/C_{ES} = 1\ eV$$.

c) Explicar el origen de la brecha de conductancia. ¿Qué determina su magnitud?

(d) Escribir una expresión analítica para la corriente máxima cuando$$q^{2}/C_{ES} = 0$$.

(e) Explicar por qué la conductancia es mucho menor cuando la energía de carga es distinta de cero.

10. A continuación, agregamos un nivel LUMO a -1.5 eV.

a) Calcular numéricamente las características de corriente-voltaje y conductación-voltaje para$$q^{2}/C_{ES} = 1\ eV$$ y$$E_{F} = -2.5\ eV$$.

b) Repetir el cálculo numérico para$$q^{2}/C_{ES} = 1\ eV$$ y$$E_{F} = -3.5\ eV$$.

c) Repetir el cálculo numérico para$$q^{2}/C_{ES} = 1\ eV$$ y$$E_{F} = -5.0\ eV$$ (igual que Q8.b).

d) ¿Por qué son uniformes las características de corriente-voltaje? Pista: ¿qué pasaría si$$\eta \neq 0.5$$? Identificar el origen de las transiciones en la curva IV.

e) ¿Por qué está ausente el efecto del cobro cuando$$E_{F} = -3.5\ eV$$?

11. A continuación, consideramos una densidad lorentziana de estados más que simplemente un nivel discreto.

$g(E)dE = \frac{1}{\pi}\frac{\Gamma}{(E - \epsilon)^{2}+(\Gamma/2)^{2}}dE \nonumber$

donde$$\Gamma=\Gamma_{S}+\Gamma_{D}$$ y$$\epsilon$$ es el centro del HOMO. Ignorar la LUMO, es decir, considerar el sistema desde el Problema 9.

(a) Comparar numéricamente las características de corriente-voltaje y conductación-voltaje para un HOMO discreto y ampliado con$$q^{2}/C_{ES} = 1\ eV$$.

b) ¿Cómo esperaría que cambiara la IV si$$\Gamma_{S} > \Gamma_{D}$$? Explique.

12. El siguiente problema considera un conductor de 2 terminales bajo iluminación. La luz produce una tasa de transferencia de electrones$$\alpha N_{H}$$ del HOMO al LUMO. La luz también provoca una tasa de transferencia de electrones$$\alpha N_{L}$$ del LUMO al HOMO, donde$$\alpha$$ es proporcional a la intensidad de la iluminación, y las poblaciones de electrones en el LUMO y HOMO son$$N_{L}$$ y$$N_{H}$$, respectivamente.

Supongamos$$C_{S} = C_{D}$$, que el LUMO y HOMO son funciones delta, y T = 300K. También, supongamos que bajo equilibrio en la oscuridad, la Energía Fermi se encuentra a medio camino entre el HOMO y el LUMO.

A continuación, imagine que los contactos están diseñados para tener las siguientes características:

Tasa de transferencia entre Drenaje y HOMO =$$1/\tau$$.

Tasa de transferencia entre Drenaje y LUMO = 0.

Tasa de transferencia entre Fuente y HOMO = 0.

Tasa de transferencia entre Fuente y LUMO =$$1/\tau$$.

(a) Determinar la corriente de cortocircuito para este sistema. (es decir$$V_{DS} = 0$$, let, ¿cuál es la corriente que fluye a través del cortocircuito externo?)

(b) Determinar el voltaje de circuito abierto para este sistema. (es decir, Desconectar la fuente de voltaje, ¿cuál es el voltaje que aparece a través de los terminales de la molécula?)

c) Repetir (a) y (b) con la adición de una tasa de transferencia de electrones adicional$$\beta N_{L}$$ de la LUMO al HOMO, donde$$\beta$$ es independiente de la intensidad de la iluminación.

13. Este problema se refiere al conductor molecular 2 terminal a continuación.

(a) Cuando$$\tau_{s}=10 \text{ fs}$$,$$\tau_{D}=5 \text{ fs}$$, calcular la densidad molecular real de los estados versus la energía. Determinar el ancho medio máximo completo de HOMO y LUMO.

(b) Con base en la densidad real de estados calculada en la parte c), encontrar el número de electrones y la energía de carga cuando la molécula se pone en contacto con el electrodo metálico y alcanza el equilibrio (sin tensión aplicada). También esbozar el diagrama de energía en equilibrio. Supongamos que la energía de carga por electrón es de 1eV y$$\tau_{s}=10 \text{ fs}$$,$$\tau_{D}=5 \text{ fs}$$.

Pista: Necesitarás tu calculadora para resolver esto. Podrías usar$$\int \frac{1}{1+x^{2}}dx = tan^{-1}(x)$$.

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