4.7: La fórmula Landauer†

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Marc Baldo
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Ahora vamos a generalizar el resultado de la Ecuación (4.6.9) considerando la conducción a temperaturas más altas y en presencia de un sitio de dispersión.

Los electrones que fluyen a través del cable pueden ser reflejados por el dispersor. Definimos la probabilidad de transmisión\(\Im\), del dispersor, y asumimos que actúa igualmente sobre los electrones que fluyen en cualquier dirección en el cable.

Captura de pantalla 2021-05-12 a las 19.43.25.png — Figura\(\PageIndex{1}\): Un cable cuántico que contiene un dispersor con probabilidad de transmisión\(\Im\).

Vamos a definir\(i_{S}^{+}\) como la corriente transportada por todos los electrones (compensados y no compensados) en los\(+k_{z}\) estados en el cable adyacente a la fuente. Dejar\(i_{S}^{-}\) ser la corriente transportada por todos los electrones en los\(-k_{z}\) estados en el cable adyacente a la fuente. De igual manera, definimos\(i_{D}^{+}\) y\(i_{D}^{-}\) como las corrientes que entran y salen del desagüe, respectivamente.

Ecuación generalizadora (4.6.5) para cables con múltiples modos y temperaturas arbitrarias, calculamos el número de electrones que viajan en los\(+k_{z}\) estados adyacentes a la fuente:

\[ N_{S}^{+} = 2 \int^{\infty}_{0} \frac{dk}{2\pi /L}\ M(E(k))f(E(k), \mu_{S}) \nonumber \]

donde el número de modos a la energía E es M (E), y como antes\(f(E,\mu)\) es la probabilidad de que se llene un estado de energía E dado el potencial químico\(\mu\). De ello se deduce que

\[ i_{S}^{+} = \frac{2q}{h} \int^{\infty}_{0} M(E)f(E, \mu_{S}) dE \nonumber \]

\[ i_{D}^{-} = \frac{2q}{h} \int^{\infty}_{0} M(E)f(E, \mu_{D}) dE \nonumber \]

\[ i_{D}^{+} = \frac{2q}{h} \int^{\infty}_{0} \Im M(E)f(E,\mu_{S}) + (1-\Im) M(E) f(E,\mu_{D})dE \nonumber \]

\[ i_{S}^{+} = \frac{2q}{h} \int^{\infty}_{0} \Im M(E)f(E,\mu_{D}) + (1-\Im) M(E) f(E,\mu_{S})dE \nonumber \]

La corriente total es\(I = i_{S}^{+}-i_{S}^{-} = i_{D}^{+}-i_{D}\), esto nos da la Fórmula Landauer

\[ I = \frac{2q}{h} \int^{\infty}_{0} \Im M(E)(f(E,\mu_{S})-f(E, \mu_{D}))dE \nonumber \]

\(^{†}\)Esta sección está adaptada de S. Datta, “Transporte electrónico en sistemas mesoscópicos” Cambridge (1995).