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6.1: El átomo de hidrógeno

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    El hidrógeno es el elemento más simple. Solo hay dos componentes: un electrón y un núcleo cargado positivamente compuesto por un solo protón.

    El electrón experimenta el potencial atractivo del núcleo. El potencial nuclear es esféricamente simétrico y dado por el potencial de Coulomb

    \[ V(r) = -\frac{Zq^{2}}{4\pi \epsilon_{0}r} \nonumber \]

    donde r es la separación radial del electrón y el núcleo\(\epsilon_{0}\) es la constante dieléctrica y Z es el número de cargas positivas en el núcleo. Para el hidrógeno hay un protón, y Z = 1.

    Recordemos que una expresión general para el operador de energía cinética en tres dimensiones es:

    \[ \hat{T} = - \frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\nabla^{2} \nonumber \]

    donde\(\nabla^{2}\) está el operador laplaciano.

    En coordenadas rectilíneas (x, y, z)

    \[ \nabla^{2} = \frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{d^{2}}{dy^{2}}+\frac{d^{2}}{dz^{2}} \nonumber \]

    En coordenadas esféricas\((r, \theta, \phi)\)

    \[ \nabla^{2} = \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{sin^{2}\theta}\frac{d^{2}}{d\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}sin\theta \frac{d}{d\theta} \nonumber \]

    Así, el hamiltoniano para el átomo de hidrógeno es

    \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2} - \frac{Zq^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r} \nonumber \]

    \( = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \left( \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}r +\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{sin^{2}\theta}\frac{d^{2}}{d\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{sin \theta}\frac{d}{d\theta}sin\theta \frac{d}{d\theta} \right) - \frac{Zq^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r} \)

    Esto requiere un poco de álgebra para resolver para los orbitales atómicos y las energías asociadas. Una solución aproximada (suponiendo un potencial de caja en lugar del potencial de Coulomb correcto) está contenida en el Apéndice 2.

    Las soluciones de menor energía se representan en la Figura 6.2.1, a continuación

    Captura de pantalla 2021-05-24 a las 16.44.40.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Los cinco primeros orbitales del átomo de hidrógeno junto con sus perfiles radiales.

    Cada una de las soluciones mostradas en la Figura 6.2.1 está etiquetada como s o p. Estas letras describen la simetría angular de la solución. Son el índice para el momento angular orbital del electrón. Los orbitales “s” exhiben incluso simetría sobre el origen en cada dimensión. Los orbitales que exhiben simetría impar sobre el origen en una dimensión se etiquetan como "p”. Mostramos en el Apéndice 1 que las funciones propias de un electrón restringido a la superficie de una esfera se caracterizan por un momento angular cuantificado. Solo estamos mostrando las soluciones s y p pero hay un conjunto infinito de soluciones, e.g. s, p, d, f... correspondientes a momenta angular orbital de 0, 1, 2, 3...

    La energía de cada orbital atómico también está etiquetada por un número entero conocido como el número cuántico principal. Así, el orbital 1s es el orbital s de menor energía, los orbitales 2p y 2s son estados degenerados primero excitados.

    El conocimiento de los orbitales atómicos exactos no es necesario para nuestros fines. Más bien, utilizaremos los orbitales como bloques de construcción simbólicos en la construcción de orbitales moleculares: las ondas de electrones en las moléculas.


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