6.15: La primera zona Brillouin

Dado que solo hay N valores distintos de los coeficientes (correspondientes a un periodo de la transformada de Fourier), normalmente restringimos k a los N valores en el rango\(-N/2 < n \leq N/2\), es decir,

\[ -\frac{\pi}{a_{0}} < k \leq \frac{\pi}{a_{0}} . \nonumber \]

A esto se le conoce como la primera zona de Brillouin. Otros valores de k no están permitidos por las condiciones de límite periódicas, o bien se\(c(x)=\text{exp}[ikx]\) reducen a una de las N soluciones. Por ejemplo, considere\(k = 2\pi (n+N)/L\):

\[ c(x) = e^{i\frac{2\pi (n+N)}{L}x} = e^{i\frac{2\pi (n+N)}{Na_{0}}ra_{0}} = e^{i\frac{2\pi n}{N}r+i2\pi r} e^{i\frac{2\pi n}{N}r} = e^{i\frac{2\pi n}{L}x} \nonumber \]

donde\(a_{0}\) es el espaciado entre celdas unitarias.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un orbital molecular se describe mediante combinaciones lineales de la función de onda de la celda unitaria. Los coeficientes,\(c_{r}\), son factores de fase. Los coeficientes de fase son discretos — solo hay N de ellos. Así, la transformada de Fourier de los coeficientes contiene solo N valores únicos (es periódica). Podemos restringir el rango de k valores sin perder información. Típicamente, elegimos valores k en la primera zona de Brillouin (\((-\pi /a_{0} < k \leq \pi /a_{0})\)). Obsérvese también que la aplicación de condiciones de contorno periódicas fija el espaciado entre k valores at\(2\pi /L\).