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6.20: Aproximaciones analíticas para la estructura de bandas de grafeno y nanotubos de carbono

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Dado que las propiedades de conducción del grafeno están dominadas por electrones que ocupan estados en o cerca de los puntos K, es conveniente linealizar la energía en\({\bf{\kappa = k+K}}\).

    La solución exacta de unión apretada de la Ecuación (6.18.23) es:

    \[ \varepsilon = \alpha \pm \beta \sqrt{3+ 2cos({\bf{k\cdot\tilde{a_{1}}}})+2cos({\bf{k\cdot\tilde{a_{2}}}})+2cos({\bf{k\cdot(\tilde{a_{1}}-\tilde{a_{2}})}})} \nonumber \]

    Sustituimos\(\bf{k = K+\kappa}\) y ampliamos los\(cos({\bf{K+\kappa}})\) términos como una serie de Taylor a segundo orden en\(\kappa\). Esto produce:

    \[ \varepsilon = \alpha \pm \beta \sqrt{3 +2cos({\bf{K\cdot\tilde{a_{1}}}})+2cos({\bf{K\cdot\tilde{a_{2}}}})+2cos({\bf{K\cdot(\tilde{a_{1}}-\tilde{a_{2}}}}))+2{\bf{\kappa \cdot \tilde{a_{1}}}}sin({\bf{K\cdot \tilde{a_{1}}}})+2{\bf{\kappa \cdot \tilde{a_{2}}}}sin({\bf{K\cdot \tilde{a_{2}}}})+2{\bf{\kappa \cdot (\tilde{a_{1}}}-\tilde{a_{2}})}sin({\bf{K\cdot (\tilde{a_{1}}}-\tilde{a_{2}})})-({\bf{\kappa \cdot \tilde{a_{1}}}})^{2}cos({\bf{K\cdot\tilde{a_{1}}}})-({\bf{\kappa \cdot \tilde{a_{2}}}})^{2}cos({\bf{K\cdot\tilde{a_{2}}}})-({\bf{\kappa \cdot (\tilde{a_{1}}-\tilde{a_{2}})}})^{2}cos({\bf{K\cdot(\tilde{a_{1}}-\tilde{a_{2}})}})} \nonumber \]

    A continuación, observamos algunas identidades:

    \[ cos({\bf{K\cdot\tilde{a_{1}}}}) = cos({\bf{K\cdot\tilde{a_{2}}}}) = cos({\bf{K\cdot(\tilde{a_{1}}-\tilde{a_{2}})}}) = -\frac{1}{2} \nonumber \]

    \[ sin({\bf{K\cdot\tilde{a_{1}}}}) = -sin({\bf{K\cdot\tilde{a_{2}}}}) = -sin({\bf{K\cdot(\tilde{a_{1}}-\tilde{a_{2}})}}) \nonumber \]

    A partir de estas identidades, la ecuación (6.19.2) se reduce a

    \[ \varepsilon = \alpha \pm \beta \sqrt{\frac{1}{2}({\bf{\kappa \cdot \tilde{a_{1}}}})^{2}+\frac{1}{2}({\bf{\kappa \cdot \tilde{a_{2}}}})^{2}+\frac{1}{2}({\bf{\kappa \cdot (\tilde{a_{1}}}-\tilde{a_{2}})})^{2}} \nonumber \]

    Resolver esto (ver el Conjunto de Problemas) da la relación de dispersión aproximada para el grafeno:

    \[ \varepsilon = \alpha \pm \frac{3}{2}\beta |\kappa| \nonumber \]

    Dado que la velocidad del portador de carga viene dada por la velocidad del grupo:\(v = \hbar^{-1} \partial \varepsilon/\partial k\), obtenemos

    \[ v = \frac{3}{2}\frac{\beta a_{0}}{\hbar} \nonumber \]

    Para\(a_{0} = 1.42\AA\) y\(\beta = 2.5\ eV\),\(v = 10^{6}\ m/s\)

    Ahora, para los nanotubos de carbono, la condición límite periódica en la circunfrencia es

    \[ {\bf{\kappa + K}\cdot w} = 2\pi l, l \in \mathbb{Z} \nonumber \]

    Consideremos cada punto K a su vez:

    Para\({\bf{K}}= \left( \frac{4\pi}{3\sqrt{3}a_{0}}, 0 \right)\)

    \ [{\ bf {(\ kappa + K})\ cdot w} = {\ bf {\ kappa\ cdot w + K\ cdot}} (n {\ bf {\ tilde {a_ {1}}}} +m {\ bf {\ tilde {a_ {2}}})\\
    = {\ bf {\ kappa\ cdot w}} + n {\ bf {K\ cdot}}\ izquierda (-\ frac {\ sqrt {3}} {2} a_ {0},\ frac {3} {2} a_ {0}\ derecha) +m {\ bf {K\ cdot}}\ izquierda (\ frac {\ sqrt {3}} {2} a_ {0},\ frac {3} {2} a_ {0}\ derecha)\\
    = {\ bf {\ kappa\ cdot w}} +\ frac {2\ pi} {3} (m-n)\ nonumber\]

    Reorganizar da:

    \[ {\bf{\kappa \cdot w}} = 2\pi l + 2\pi \frac{(n-m)}{3} \nonumber \]

    Para\({\bf{K}}= \left( \frac{2\pi}{3\sqrt{3}a_{0}}, \frac{2\pi}{3a_{0}} \right)\)

    \ [{\ bf {\ kappa\ cdot w}} = 2\ pi l + 2\ pi\ frac {(2n+m)} {3}\\
    =2\ pi l + 2\ pi\ frac {(3n- (n-m))} {3}\
    \ equiv 2\ pi l - 2\ pi\ frac {(n-m)} {3}\ nonumber\]

    Para\({\bf{K}}= \left( -\frac{2\pi}{3\sqrt{3}a_{0}}, \frac{2\pi}{3a_{0}} \right)\)

    \ [{\ bf {\ kappa\ cdot w}} = 2\ pi l + 2\ pi\ frac {(n+2m)} {3}\\
    =2\ pi l + 2\ pi\ frac {((n-m) +3m))} {3}\
    \ equiv 2\ pi l + 2\ pi\ frac {(n-m)} {3}\ nonumber\]

    Los otros K puntos siguen por simetría, y podemos concluir que

    \[ {\bf{\kappa}}_{\perp} = \frac{2\pi}{|{\bf{w}}|} \left( l + \frac{(n-m)}{3} \right) \nonumber \]

    donde hemos separado\(\kappa\) en dos componentes paralelos,\(\kappa_{\parallel}\), y perpendiculares,\ kappa_ {\ perp} al eje del tubo. De la Ecuación (6.19.6) obtenemos

    \[ \varepsilon = \alpha \pm \frac{3\beta a_{0}}{d} \sqrt{\left( l + \left( \frac{n-m}{3} \right) \right)^{2}+ \left( \frac{\kappa_{\parallel}d}{2} \right)^{2}} . \nonumber \]

    donde está la circunferencia del tubo\(|{\bf{w}}| = \pi d\). Curiosamente, la Ec. (6.98) predice que los tubos son metálicos cuando\([(n-m)/3] \in \mathbb{Z}\). Suponiendo que n y m se generan aleatoriamente, esperamos que 1/3 de los tubos sean metálicos. En efecto, este parece ser el caso en la práctica. Tenga en cuenta también que para los tubos semiconductores el espacio de banda es inversamente proporcional al diámetro del tubo.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Estructuras de banda aproximadas para tubos metálicos y semiconductores en zigzag.

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