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1.9: El Sistema Masa-Amortiguador-Muelle - Un Sistema LTI de 2do Orden y ODE

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    Considere un cuerpo rígido de masa\(m\) que está restringido a la traslación deslizante\(x(t)\) en una sola dirección, Figura\(\PageIndex{1}\). La masa se somete a una fuerza arbitraria aplicada externamente\(f_x(t)\), y se desliza sobre una capa delgada, viscosa y líquida que tiene constante de amortiguación viscosa lineal\(c\). Adicionalmente, la masa está restringida por un resorte lineal. La fuerza ejercida por el resorte sobre la masa es proporcional a la traslación\(x(t)\) relativa al estado no deformado del resorte, siendo la constante de proporcionalidad\(k\). Parámetros\(m\),\(c\), y\(k\) son cantidades físicas positivas. Todas las fuerzas horizontales que actúan sobre la masa se muestran en el FBD de la Figura\(\PageIndex{1}\).

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Sistema mecánico masa-amortiguador-resorte de segundo orden.

    A partir del FBD de Figura\(\PageIndex{1}\) y la ley de Newton para la traducción en una sola dirección, escribimos la ecuación de movimiento para la masa:

    \[\sum(\text { Forces })_{x}=\text { mass } \times(\text { acceleration })_{x} \nonumber \]

    donde\((acceleration)_{x}=\dot{v}=\ddot{x};\)

    \[f_{x}(t)-c v-k x=m \dot{v}. \nonumber \]

    Reorganice esta ecuación y agregue la relación entre\(x(t)\) y\(v(t)\),\(\dot{x}\) =\(v\):

    \[m \dot{v}+c v+k x=f_{x}(t)\label{eqn:1.15a} \]

    \[\dot{x}-v=0\label{eqn:1.15b} \]

    Las ecuaciones\(\ref{eqn:1.15a}\) y\(\ref{eqn:1.15b}\) son un par de ODEs de primer orden en las variables dependientes\(v(t)\) y\(x(t)\). Se dice que las dos ODE están acopladas, porque cada ecuación contiene ambas variables dependientes y ninguna de las dos ecuaciones se puede resolver independientemente de la otra. Tal par de ODEs acopladas de primer orden se denomina un conjunto de ODEs de segundo orden.

    Resolver la ecuación 1.3.3 de ODE de 1er orden en la variable dependiente única\(v(t)\) para todos los tiempos\(t\) >\(t_0\) requiere el conocimiento de un solo IC, que previamente expresamos como\(v_0 = v(t_0)\). De igual manera, resolver el par acoplado de ODEs de primer orden, Ecuaciones\(\ref{eqn:1.15a}\) y\(\ref{eqn:1.15b}\), en variables dependientes\(v(t)\) y\(x(t)\) para todos los tiempos\(t\) >\(t_0\), requiere un IC conocido para cada una de las variables dependientes:

    \[v_{0} \equiv v\left(t_{0}\right)=\dot{x}\left(t_{0}\right) \text { and } x_{0}=x\left(t_{0}\right)\label{eqn:1.16} \]

    En este libro, el problema matemático se expresa en una forma diferente a las Ecuaciones\(\ref{eqn:1.15a}\) y\(\ref{eqn:1.15b}\): eliminamos\(v\) de la Ecuación\(\ref{eqn:1.15a}\) sustituyéndola de la Ecuación\(\ref{eqn:1.15b}\) con\(v = \dot{x}\) y la derivada asociada\(\dot{v} = \ddot{x}\), lo que da 1

    \[m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=f_{x}(t)\label{eqn:1.17} \]

    \(\ref{eqn:1.17}\)La ecuación ODE es claramente lineal en la única variable dependiente\(x(t)\), posición e invariante de tiempo, asumiendo que\(m\)\(c\),, y\(k\) son constantes. La derivada más alta de\(x(t)\) en la ODE es la segunda derivada, por lo que esta es una ODE de segundo orden, y el sistema mecánico masa-amortiguador-resorte se denomina sistema de segundo orden. Si\(f_x(t)\) se define explícitamente, y si también conocemos la Ecuación ICs tanto\(\ref{eqn:1.16}\) para la velocidad\(\dot{x}(t_0)\) como para la posición\(x(t_0)\), entonces podemos, al menos en principio, resolver Ecuación ODE\(\ref{eqn:1.17}\) para posición\(x(t)\) en todo momento\(t\) >\(t_0\). Estudiaremos la respuesta de los sistemas de segundo orden con considerable detalle, comenzando en el Capítulo 7, para lo cual la siguiente sección es una vista previa.

    1 Una derivación alternativa de la Ecuación ODE\(\ref{eqn:1.17}\) se presenta en el Apéndice B, Sección 19.2. La tasa de cambio de la energía del sistema se equipara con la energía suministrada al sistema.


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