Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.11: Problemas de tareas para el Capítulo 1

  • Page ID
    84635
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    1. Dinamán.
      1. El súper héroe Dynaman está recorriendo a 126 km/hr cuando el Dynamobile de repente se encuentra con pavimento mojado y comienza a hidroplanear. Naturalmente, el Dynamobile se dirige recto hacia una barrera gruesa y sólida de acero y se estrellará si no puede detenerse. También naturalmente, Dynamobile está equipado no solo con frenos convencionales (inútiles contra el hidroplaneo) sino también con propulsores jet reverse que pueden proporcionar frenado de emergencia en forma de pulso de medio seno. Dynaman pulsa el botón de pánico, que activa todos los sensores y la computadora de a bordo. Los sensores detectan instantáneamente la velocidad inicial\(v_0\) = 35.0 m/s, la masa total de Dynamobile\(m\) = 1 500 kg y la constante de amortiguación viscosa en hidroplaneo\(c\) = 7.70 N-S/m. La computadora calcula que una posible acción de evitación de desastres es desplegar la máxima amplitud de empuje de frenado disponible de \(F\)= −7 200 N (−7.2 kN) en un pulso de medio seno que se extiende sobre 10.0 s [\(f_x(t)\)=\(F\sin(0.100\pi t\) para 0\(\leq\)\(t\)\(\leq\) 10.0 s]. Su tarea es demostrar la efectividad de este empuje de frenado haciendo un gráfico de MATLAB que muestre la velocidad de Dynamobile a lo largo de 15 segundos (el período de frenado de 10 s más otros 5 segundos de inercia). Asegúrese de utilizar una buena práctica gráfica de ingeniería: proporcionar cuadrículas, un título, etiquetas apropiadas y alta densidad de puntos. Envíe su script de MATLAB así como su gráfica.
      2. Considerar el mismo escenario que en parte (1.1.1), pero con los siguientes datos diferentes:\(v_0\) = 40.0 m/s,\(m\) = 1 700 kg,\(c\) = 130 N-S/m, con amplitud de fuerza de frenado\(F\) = −30 000 N (−30.0 kN) en el pulso\(f_x(t)\) =\(F \sin (0.250 \pi t)\) para 0\(\leq\)\(t\)\(\leq\) 4.00 s. Haga un gráfico de MATLAB que muestre la velocidad de Dynamobile a lo largo de 8 segundos (el período de frenado de 4 s más otros 4 segundos de navegación a costa).
      3. Considerar el mismo escenario que en parte (1.1.1), pero con los siguientes datos diferentes:\(v_0\) = 60.0 m/s,\(m\) = 1 700 kg,\(c\) = 1 100 N-S/m, con amplitud de fuerza de frenado\(F\) = −120 000 N (−120 kN) en el pulso\(f_x(t)\) =\(F\sin(\pi t)\) para 0\(\leq\)\(t\)\(\leq\) 1.00 s. Haga un gráfico de MATLAB que muestre la velocidad de Dynamobile a lo largo de 3 segundos (el período de frenado de 1-s más otros 2 segundos de navegación a costa).
    2. Consideremos nuevamente la Dinamobile de Hidroplaneo del Problema 1.1 con masa total\(m\), constante\(c\) de amortiguación viscosa de hidroplaneo y velocidad inicial\(v(0) \equiv v_{0}\).
      1. Integrar\(\dot{x}\) =\(v(t)\)) (dada en la Ecuación 1.5.13 para derivar una ecuación algebraica para la posición\(x(t)\) mientras el pulso de frenado está activo. Para mantener la ecuación algebraicamente simple (relativamente, de todos modos), déjala en términos de constantes\(C\),\(P_1\) y\(P_2\) (no escriba esas constantes en términos de\(m\),\(c\),\(v_0\),\(F\), y\(t_d\)). Asegúrese de que su\(x(t)\) ecuación dé la posición inicial como cero,\(x(0)\) = 0, ya sea (i) evaluando cuidadosamente la integral definida\(v(t)\) entre los límites 0 y\(t\) [ver Ecuación 1.3.5], o (ii) tomando la antiderivada de la\(v(t)\) ecuación y añadiendo una constante apropiada de integración [ver Ecuación 1.3.7]. Utilizando los datos numéricos del Problema 1.1 [parte (1) o (2) o (3), lo que hayas resuelto antes], calcula la distancia recorrida por Dynamobile al final del periodo de frenado (pulso). (Comentario: en realidad, para evitar colisiones con la barrera, ¿no necesitarías conocer la distancia inicial de Dynamobile a la barrera así como su velocidad inicial?)
      2. Diferenciar\(v(t)\) dada en la Ecuación 1.5.13 para derivar una ecuación algebraica para aceleración\(a(t)\) =\(\dot{v}\) mientras el pulso de frenado está activo. Para mantener la ecuación algebraicamente simple, déjala en términos de constantes C,\(P_1\),\(P_2\). Usando los datos numéricos del Problema 1.1 [parte 1.1.1 o 1.1.2 o 1.1.3, lo que haya resuelto antes], haga un gráfico de MATLAB que muestre la aceleración en G de Dynamobile durante el periodo de frenado (pulso). Para calcular la aceleración en G's, divida la aceleración en m/s 2 por la aceleración nominal SI de la gravedad,\(g\) = 9.807 m/s 2. [Comentario: presumimos que Dynaman no sobreviviría a la colisión si no hubiera frenado, pero, de hecho, ¿sobreviviría a la desaceleración (quizás muchas G's) requeridas para evitar la colisión?]
    3. Consideremos nuevamente el hidroplaneo Dynamobile de Problemas 1.1 y 1.2. Supongamos que todos los parámetros son conocidos excepto\(F\), la magnitud del pulso. Ahora queremos encontrar la magnitud óptima del pulso,\(F\) =\(F_{opt}\), definida aquí como el valor que llevará a Dynamobile a un punto muerto al final de la duración del pulso,\(v(t_d)\) = 0.
      1. Utilice las Ecuaciones 1.5.12-1.5.14\(v(t)\) para derivar una ecuación algebraica para\(F_{opt}\) en términos de los parámetros\(m\),\(c\),\(v_0\), y\(t_d\). A continuación, evalúa tu ecuación numéricamente para\(m\) = 1 700 kg,\(c\) = 130 N/m/s,\(v_0\) = 40.0 m/s, y\(t_d\) = 4.00 s. (respuesta:\(F_{opt}\) = −22.87 kN)
      2. Utilice la ecuación algebraica para la posición\(x(t)\) del Problema 1.2.1, y el valor de Problema 1.3.1 para calcular hasta dónde viajaría Dinamobile después de la activación del frenado de empuje antes de llegar a un punto muerto. (respuesta:\(x(t_d)\) = 75.18 m)
    4. Considerar un sistema amortiguador de masa con una función de forzamiento coseno, como se describe en el primer orden, LTI ODE\(m\dot{v} + cv\) =\(F\cos\omega t\), en el que la velocidad\(v(t)\) es la variable dependiente, y los parámetros constantes conocidos son masa\(m\), constante de amortiguación viscosa\(c\), fuerza amplitud\(F\) y frecuencia circular de forzamiento\(\omega\). Utilice el método de coeficientes indeterminados para derivar una ecuación algebraica (en términos de las constantes dadas) para la solución particular\(v_p(t)\) de esta ODE y función de forzamiento.
    5. La ODE “estándar” de primer orden es\(\dot{x}-ax\) =\(bu(t)\).
      1. Supongamos que\(u(t)\) =\(U\sin\omega t\),\(t\) > 0, donde\(U\) es una amplitud constante, y eso\(x(0)\) = 0. Derive la siguiente solución de la ODE estándar de primer orden:\[x(t)=\frac{-a b U}{\omega^{2}+a^{2}}\left(-\frac{\omega}{a} e^{a t}+\sin \omega t+\frac{\omega}{a} \cos \omega t\right), t \geq 0 \nonumber \]
      2. Supongamos que\(u(t) = U\cos\omega t\)\(t > 0\),, donde\(U\) es una amplitud constante, y eso\(x(0)\) = 0. Derive la siguiente solución de la ODE estándar de 1er orden:\[x(t)=\frac{-a b U}{\omega^{2}+a^{2}}\left(-e^{a t}-\frac{\omega}{a} \sin \omega t+\cos \omega t\right), t \geq 0 \nonumber \]
    6. El software simbólico como Mathematica 1 y MATLAB (la caja de herramientas simbólica matemática) puede resolver algunas ODE, incluidas las discutidas en el Capítulo 1. Para una introducción a este tipo de soluciones, solucione Problema 1.5.1 en MATLAB. Comience con los siguientes comandos de MATLAB:

      >> síms a b U w t

      >> síms a b U w t

      La respuesta de MATLAB probablemente será una ecuación larga, algebraicamente indisciplinada para\(x(t)\). Para expresar la ecuación de una forma más económica, escriba el comando

      >> x=simple (x)

      La ecuación simplificada seguirá estando en notación informática bastante incómoda, así que, para expresar la ecuación en una forma más convencional, escriba el comando:

      >> bonita (x)

      Algunas palabras de advertencia sobre el software simbólico son apropiadas. Para ODEs más complejas, el software simbólico podría dar soluciones algebraicas que son correctas, pero que se expresan en una forma desconocida, o en una forma algebraica que debe simplificarse a mano para que sea útil. Por esta razón y otras, los ingenieros suelen considerar el software simbólico como útil principalmente para proporcionar comprobaciones sobre resultados matemáticos que se han derivado a la antigua usanza, a mano.

    7. Imagínese una bola de cañón esférica que tenga el diámetro\(d\) y la masa\(m\) de una pelota de béisbol regulatoria, pero con una superficie muy lisa (no algo rugosa, como la cubierta de piel de vaca cosida de una pelota de béisbol). Supongamos que lanzamos esta bola verticalmente hacia arriba desde el nivel del mar contra la gravedad de la Tierra,\(v_0\) siendo conocida la locidad vertical de lanzamiento (hocico) suficientemente baja como para que la aceleración de la gravedad\(g\) permanezca esencialmente constante a lo largo de todo el ascenso y descenso de la pelota. Denotar la altitud variable (posición vertical) de la bola como\(y(t)\), positiva hacia arriba, por lo que la velocidad de la pelota es\(v(t)\) =\(\dot{y}(t)\).
      clipboard_efe718577e0163aeb2524da502a39a208.png
      Figura\(\PageIndex{1}\)
      1. Primero, idealicemos la fuerza aerodinámica de arrastre como linealmente viscosa con constante de amortiguación\(c\),\(D_1\) =\(cv\) (el subíndice 1 denota este modelo matemático de arrastre como proporcional a la potencia de velocidad,\(v^1\)). Dibuje y etiquete un diagrama de cuerpo libre apropiado (FBD), que muestre la dirección de la fuerza de arrastre, por convención en análisis de aerodinámica, como opuesta a la dirección de la velocidad\(v(t)\). Usando su FBD, aplique la ley de Newton para derivar la ODE del movimiento,\(m\dot{v} + cv = mg\). 2
      2. Resolver la ODE de la parte (a) para determinar una ecuación para la velocidad\(v(t)\),\(t\)\(\geq\) 0, dado el IC conocido,\(v(0)\) =\(v_0\). Primero, observar que la ODE homogénea es la misma que la Ecuación 1.5.3, por lo que la Ecuación 1.5.6 es la solución homogénea. A continuación, encuentre la solución particular más simple posible,\(v_p\), una constante. A continuación, hacer cumplir la condición inicial para determinar la constante desconocida de la solución homogénea. De tu\(v(t)\) ecuación, muestra que\(v_p\) =\(v_{t1}\), la velocidad terminal constante del descenso de la pelota para el arrastre\(D_1\). También, derivar una ecuación para el instante de tiempo\(t_z{1}\) cuando la velocidad es cero, que, por supuesto, corresponde a la altitud máxima,\(y_{max\_1}\) de la pelota. (Respuestas parciales:\(V_{t1}\) =\(-mg/c\);\(t_{z1}\) =\((m/c)\ln(1-v_0/v_{t1})\), en la que\(\ln\) denota el logaritmo natural, es decir, el logaritmo a base\(e\).)
      3. Integrar\(v(t)\) de la parte 1.7.2 para derivar una ecuación para la altitud del balón,\(y(t)\),\(t\)\(\geq\) 0; definir el punto de lanzamiento para que sea la posición de referencia, es decir, establecer el IC como\(y(0)\) ≡ 0. (Respuesta:\(y(t)\) =\((m/c)(v_0-v_{t1})(1-e^{-(c/m)t})+v_{t1}t\).)
      4. A continuación, consideremos el modelo matemático para la fuerza aerodinámica de arrastre que generalmente se considera más apropiado para una bola lisa:\(D_2\) =\(\pm \bar{q} S C_{D}\), con el signo más para ascenso (\(v\)\(\geq\)0), y el signo menos para descenso (\(v\)< 0). Los términos en esta ecuación son:\(\bar{q}=\frac{1}{2} \rho v^{2}\), la presión dinámica, con densidad de aire a nivel del mar\(\rho\) = 0.002 377 slug/ft 3 = 0.002 377 lb-s 2 /ft 4;\(S=\pi d^{2} / 4\), el área proyectada de la pelota, con diámetro de béisbol aproximadamente\(d\) = 2.90 pulgadas; y\(C_D\), el coeficiente de arrastre adimensional, que es aproximadamente\(C_D\) = 0.50 para la bola lisa, siempre que su velocidad aerodinámica sea inferior a aproximadamente 140 mph (millas/hora). Escribe dos ODEs de primer orden para\(v(t)\) con el modelo de arrastre\(D_2\), una ODE aplicando al ascenso y la otra al descenso. Explique de qué se trata estas ODE lo que las hace no lineales. No intente resolver estas ODEs en general, sino use la forma apropiadamente simplificada de la ODE de descenso para encontrar una ecuación algebraica para\(v_{t2}\), la velocidad terminal constante del descenso de la pelota para arrastre\(D_2\); y luego calcule el valor de \(v_{t2}\)en mph. Usa el peso promedio de pelotas de béisbol,\(m g\) =\(5\frac{1}{8}\) onzas, con\(g\) = 32.17 pies/s 2. Nota: 60 mph = 88 pies/s, 1 pie = 12 pulgadas y 1 lb = 16 onzas. (Respuesta parcial:\(v_{t2}\) = −74.91 mph. Puede parecer contradictorio que la velocidad terminal de una pelota de béisbol cosida sea de −95 mph, una velocidad mucho mayor que la de una pelota lisa por lo demás equivalente; véase Adair, 1994, páginas 5-12. 3)
      5. Intentemos establecer algún tipo de modelo matemático lineal “equivalente” relativo al modelo no lineal de la parte 1.7.4. Los únicos resultados comparables que hemos determinado para este propósito son las ecuaciones para la velocidad terminal. Por lo tanto, calcule una constante de amortiguación viscosa lineal “equivalente”\(c\) igualando\(v_{t1}\) =\(v_{t2}\). Supongamos que\(v_0\) = 110 mph, la velocidad promedio a la que un beisbol rebota de un bate en el camino del balón a un jonrón de Grandes Ligas de 400 pies. Calcular el tiempo total de ascenso\(t_{z1}\) (en segundos) y la altitud máxima\(y(t_{z1})\)\(y_{max\_1}\) (en pies), cantidades que se definen en las partes 1.7.2 y 1.7.3. Sucede que ambas ODEs no lineales de la parte 1.7.4 pueden resolverse en términos de funciones matemáticas estándar. 4 En particular, la solución de la ODE no lineal para ascenso conduce a la ecuación para el tiempo de ascenso total\(t_{z 2}=\left[\left(-v_{t 2}\right) / g\right] \tan ^{-1}\left[v_{0} /\left(-v_{t 2}\right)\right]\),, y la ecuación para altitud pico,\(y\left(t_{z 2}\right) \equiv y_{\max _{2}}=\left(v_{t 2}^{2} / g\right) \ln \sqrt{1+\left(v_{0} / v_{t 2}\right)^{2}}\). Calcular\(t_{z2}\) y\(y_{max\_2}\), y compararlos, respectivamente, con\(t_{z1}\) y\(y_{max\_1}\); tenga en cuenta, sin embargo, que no podemos inferir de esta comparación limitada la calidad general del modelo lineal “equivalente” relativo al modelo no lineal. (Respuestas parciales:\(c\) = 2.955\(\times\) 10 -3 lb-s/ft;\(y_{max\_1}\) = 210.7 ft;\(t_{z2}\) = 3.299 seg)
    8. El procedimiento de solución ODE ilustrado en la Sección 1-5 para una ODE de primer orden se puede utilizar para resolver cualquier ODE LTI o sistema de ODEs LTI. Considere, por ejemplo, la Ecuación ODE de segundo orden 1.9.6 para un sistema de amortiguador-resorte de masa,\(m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=f_{x}(t)\). Los parámetros físicos\(m\),\(c\), y\(k\) son constantes conocidas.
      1. Buscar una solución homogénea en la forma de la\(x_{h}(t)=C e^{\lambda t}\) siguiente manera. Primero, mostrar que la ecuación característica es un polinomio cuadrático en lo desconocido\(\lambda\). A continuación, resolver la ecuación polinómica y mostrar en detalle que hay dos valores característicos (raíces),\(\lambda_{1,2}=-\frac{c}{2 m} \pm \sqrt{\left(\frac{c}{2 m}\right)^{2}-\frac{k}{m}}\). Asumir eso\(\left(\frac{c}{2 m}\right)^{2}>\frac{k}{m}\). Por lo tanto, la solución homogénea general debe tener la forma\(x_{h}(t)=C_{1} e^{\lambda_{1} t}+C_{2} e^{\lambda_{2} t}\), con dos constantes inicialmente desconocidas.
      2. Supongamos que la fuerza de excitación tiene la forma sinusoidal\(f_{x}(t)=F \sin \omega t\), en la que se considera conocida la amplitud de la fuerza\(F\) y la frecuencia circular\(\omega\) (en radianes/segundo). Buscar una solución particular utilizando el método de coeficientes indeterminados. En primer lugar, expresar la solución como\(x_{p}(t)=P_{1} \sin \omega t+P_{2} \cos \omega t\). Ahora, sustituya esto en la ODE no homogénea para encontrar ecuaciones algebraicas para y en términos de las constantes que\(m\)\(c\),\(k\),\(F\), y\(\omega\). (Respuesta parcial:\(P_{2}=\frac{-c \omega}{\left(k-m \omega^{2}\right)^{2}+(c \omega)^{2}} F\))
      3. Exprese la solución completa como\(x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\). Supongamos que la masa\(m\) está inicialmente en reposo con CI: posición inicial\(x(0) = 0\) y velocidad inicial\(\dot{x}(0)=0\). Utilice estos CI para escribir dos ecuaciones lineales con incógnitas\(C_1\) y\(C_2\). Resolver para\(C_1\) y\(C_2\); demostrar que se pueden escribir como\(C_{1}=\frac{P_{2} \lambda_{2}-P_{1} \omega}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\) y\(C_{2}=\frac{P_{1} \omega-P_{2} \lambda_{1}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\).

        Nótese que una ecuación algebraica razonablemente eficiente para el resultado final\(x(t)\) se deriva definiendo constantes\(C_1\) y\(C_2\) en términos de lo previamente definido\(\lambda_i\) y\(P_i\), en lugar de escribirlas en términos de todos los parámetros básicos,\(m\),\(c\),\(k\), \(F\), y\(\omega\).

    9. Resolver Problema 1.8 en MATLAB. Comience con los siguientes comandos de MATLAB:

      >> syms x t m c k F w

      >> x=dsolve ('d2x+c/m*dx+k/m*x=f/m*sin (w*t) ', 'x (0) =0', 'Dx (0) =0')

      La respuesta de MATLAB probablemente será una ecuación para\(x(t)\) una longitud realmente impresionante. Puedes probar operaciones de simplificación como x=simple (x) y pretty (x) y el comando subexpr, pero no necesariamente conducirán a una ecuación más útil para\(x(t)\). En algún momento, podrías decidir que, en lugar de seguir agitando el software simbólico, tu tiempo se usa de manera más eficiente si solo resuelves a mano y defines símbolos intermedios en términos de los parámetros básicos, como se hace en el Problema 1.8.

    10. Este problema se relaciona con los detalles de la solución ODE de sistema de resorte masivo presentada en la Sección 1-10.
      1. Sustituir la solución particular asumida Ecuación 1.10.6 en la ecuación ODE no homogénea 1.10.5, luego llevar a cabo el proceso en todo detalle algebraico para verificar las Ecuaciones 1.10.7 para\(P_1\) y\(P_2\).
      2. Sustituir ICs Ecuación 1.10.2,\(\dot{x}(0)=0\) y\(x(0)=0\) en solución completa Ecuación 1.10.9, luego llevar a cabo el proceso en todo detalle algebraico para verificar las Ecuaciones 1.10.10 para\(C_1\) y\(C_2\).
    11. Considerar un sistema masa-resorte con una función de forzamiento de “escalón exponencial”, como se describe en la ODE LTI de segundo orden\(m \ddot{x}+k x=f_{x}(t)=F\left(1-e^{-t / t_{c}}\right)\), en la que la posición\(x(t)\) es la variable dependiente, y los parámetros constantes conocidos son masa\(m\), constante de rigidez de resorte\(k\), fuerza amplitud\(F\) y constante de tiempo\(t_c\). La constante de tiempo es el tiempo requerido para que la función “unidad exponencial paso”\(1-e^{-t / t_{c}}\),, aumente de 0 a\(t\) = 0 al valor\(1-e^{-1}\) = 0.6321, en su camino hacia el valor asintótico 1 as\(t\rightarrow\inf\).
      1. Utilice el método de coeficientes indeterminados para derivar una ecuación algebraica (en términos de las constantes dadas) para la solución particular\(x_p(t)\) de esta ODE y función de forzamiento.
      2. Que los CI para este\(m\) -\(k\) sistema sean\(\dot{x}(0)=0\) y\(x(0)=0\). Utilice el resultado de la parte (a) y cualquier otra cosa que se requiera para derivar con todo detalle la siguiente solución algebraica completa para\(x(t)\),\(t\)\(\geq\) 0, en la que\(\omega_{n}=\sqrt{k / m}\):\[x(t)=\frac{F}{k}\left\{1-\frac{1}{1+\left(1 / \omega_{n} t_{c}\right)^{2}}\left[e^{-t / t_{c}}+\left(1 / \omega_{n} t_{c}\right) \sin \omega_{n} t+\left(1 / \omega_{n} t_{c}\right)^{2} \cos \omega_{n} t\right]\right\} \nonumber \]
      3. Considere el caso numérico específico de masa\(m\) = 8.03 kg, constante de rigidez de resorte\(k\) = 317 N/m, y amplitud de fuerza\(F\) = 4.50 N. Calcular la frecuencia natural circular\(\omega_n\) y la frecuencia natural cíclica\(f_n\). Dejar constante el tiempo de excitación\(t_{c}=1 / \omega_{n}\), un intervalo mucho más corto que el\(m\) período natural del\(k\) sistema\(T_{n}=2 \pi / \omega_{n}\). Componer y ejecutar un programa MATLAB que haga lo siguiente: calcular la respuesta dinámica real\(x(t)\) y la respuesta\(f_{x}(t) / k\) pseudo-estática en el intervalo de tiempo 0\(\leq\)\(t\)\(\leq\) 2.5 s; trazar ambos\(x(t)\) y\(f_{x}(t) / k\) en la misma gráfica en unidades de cualquiera de los centímetros o milímetros. Explique en una oración o dos qué característica de su trama de\(x(t)\) demuestra y se ajusta a su cálculo de\(f_n\).
    12. Considerar un sistema masa-resorte con una función de forzamiento sinusoidal, como lo describe la ODE LTI de segundo orden\(m \ddot{x}+k x=f_{x}(t)=F \sin \omega t\), en la que la posición\(x(t)\) es la variable dependiente, y los parámetros constantes conocidos son masa\(m\), constante de rigidez de resorte\(k\), amplitud de fuerza \(F\), y frecuencia de excitación\(\omega\).
      1. Utilizar el método de coeficientes indeterminados para derivar una ecuación algebraica (en términos de las constantes dadas) para la solución particular\(x_p(t)\) de esta función ODE y forzamiento, solución que es válida proporcionada\(\omega^{2} \neq k / m\).
      2. Que los CI para este\(m\) -\(k\) sistema sean\(\dot{x}(0)=0\) y\(x(0)=0\). Utilice el resultado de la parte 1.12.1 y cualquier otra cosa que se requiera para derivar con todo detalle la siguiente solución algebraica completa para\(x(t)\),\(t\)\(\geq\) 0, en la que\(\omega_{n}=\sqrt{k / m}\):\[x(t)=\frac{F}{k} \frac{1}{1-\left(\omega / \omega_{n}\right)^{2}}\left[\sin \omega t-\left(\omega / \omega_{n}\right) \sin \omega_{n} t\right], \text { valid for } \omega \neq \omega_{n} \nonumber \]
      3. Considere el caso numérico específico de masa\(m\) = 0.230 lb-s 2 /inch (que pesa alrededor de 88.8 lb), constante de rigidez de resorte\(k\) = 227 lb/pulgada y amplitud de fuerza\(F\) = 45.0 lb Calcular la frecuencia natural circular ωn y la frecuencia natural cíclica\(f_n\). Para la frecuencia de excitación\(\omega=1.2 \omega_{n}\), componga y ejecute un programa MATLAB que haga lo siguiente: calcular la respuesta dinámica real\(x(t)\) y la respuesta\(f_{x}(t) / k\) pseudo-estática en el intervalo de tiempo 0\(\geq\)\(t\)\(\geq\) 2 s; trazar ambos\(x(t)\) y\(f_{x}(t) / k\) en el mismo gráfico . Su\(x(t)\) trama debe exhibir el fenómeno de la paliza, que se analiza de manera más completa en la Sección 10-6.
      4. La\(x(t)\) ecuación derivada en la parte 1.12.2 no es válida si la frecuencia de excitación es\(\omega\) igual a la frecuencia natural\(\omega_n\), pero tenga en cuenta que en este caso la\(x(t)\) ecuación tiene la forma indeterminada 0/0, por lo que podemos aplicar la regla de L'hospital (que se describe en cualquier libro de texto de cálculo) para encontrar la solución de respuesta de casos límite. Definir\(\beta=\omega / \omega_{n}\), para que\(\omega t=\beta \omega_{n} t\). Ahora, mantén\(\omega_n\) constante y toma el límite a partir\(\beta \rightarrow 1\) de la\(x(t)\) ecuación para determinar la\(x(t)\) ecuación de respuesta correcta para el caso\(\omega=\omega_{n}\).

    1 Mathematica® es una marca registrada de Wolfram Research, Inc.

    2 En el Apéndice B, Sección B-2, esta ODE se deriva por un método alternativo utilizando energía y potencia.

    3 Referencias bibliográficas como esta se describen en detalle en la sección Referencias que sigue al Capítulo 17.

    4 Para ejemplos de estas soluciones, véase: una solución de ascenso en Greenwood, 1965, Problema 3-4 en las páginas 128 y 503; y una solución de descenso en Sommerfeld, 1964, páginas 21-22.


    This page titled 1.11: Problemas de tareas para el Capítulo 1 is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by William L. Hallauer Jr. (Virginia Tech Libraries' Open Education Initiative) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.