2.2: Introducción a la aplicación de las transformaciones de Laplace

La transformación de Laplace (después del matemático francés y mecanicista celeste Pierre Simon Laplace, 1749-1827) es una herramienta matemática principalmente para resolver ODEs, pero con otras aplicaciones importantes en la dinámica de sistemas que estudiaremos más adelante. En la transformación de Laplace, nos ocupamos de una variable compleja denotada como\(s\), que generalmente se expresa en términos de sus partes real e imaginaria como

\[s=\sigma+j \omega\label{eqn:2.9} \]

en el que\(\sigma\) y\(\omega\) ambos son reales. Definimos una función compleja de\(s\),\(F(s)\). El tipo de función que encontraremos a menudo toma la forma de una relación de dos polinomios:

\[F(s) \equiv \frac{\operatorname{Num}(s)}{\operatorname{Den}(s)}=\frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n+1}}=\frac{b_{1}\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \cdots\left(s-z_{m}\right)}{a_{1}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \cdots\left(s-p_{n}\right)}\label{eqn:2.10} \]

En la primera forma polinómica de Ecuación\(\ref{eqn:2.10}\),,\(a_1\),\(a_{n+1}\) y\(\dots\),\(b_1\)\(\dots\),\(b_{m+1}\) son constantes reales (con los símbolos y el sistema de numeración clave a la notación MATLAB); el numerador\(\operatorname{Num}(s)\) es un polinomio de grado\(m\) ^th en\(s\), y denominador\(\operatorname{Den}(s)\) es un polinomio de grado\(n\) ^th en\(s\), con\(m\)\(\leq\)\(n\) en general. En la segunda forma polinómica, con constantes\(\operatorname{Num}(s)\) factorizadas y\(\operatorname{Den}(s)\), complejas\(z_1\),\(z_2\)\(\dots\),\(z_m\) se llaman ceros de\(F(s)\) porque\(F(s)\) es cero si es\(s\) igual a cualquiera de ellas, y constantes complejas\(p_1\),\(p_2\),\(\dots\), \(p_n\)se llaman polos de\(F(s)\) porque\(F(s)\) es infinito si es\(s\) igual a cualquiera de ellos. Si\(m\) <\(n\),\(F(s)\) en Ecuación\(\ref{eqn:2.10}\) también va a cero como\(s\rightarrow\inf\).

Resolver un simple problema de ODE con las transformaciones de Laplace es una introducción suave al tema. ^{Considere la ODE LTI de primer orden escrita en forma estándar:\(\dot{x}-a x=b u(t)\), Ecuación 1.2.1.} Resolvamos esta ODE con un CI conocido\(x(0)=x_{0}\),, y con una función de entrada exponencial específica\(u(t)=U e^{-w t}\),\(U\) siendo una magnitud dimensional; en cualquier problema físicamente realista, la constante w sería un número real, pero por generalidad aquí permitimos que sea un número complejo. Entonces la declaración completa del problema es:

\[\dot{x}-a x=b U e^{-w t}, x(0)=x_{0}, \text { solve for } x(t), t>0\label{eqn:2.11} \]

Para comenzar la solución, multiplicamos la ODE por un exponencial complejo,\(e^{-s t}\), luego tomamos la integral definida a lo largo del tiempo de\(t\) = 0 a\(t\) =\(\inf\) de la ODE multiplicada completa:

\[\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t}\left(\dot{x}-a x=b U e^{-w t}\right) d t \Rightarrow \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} \dot{x} d t-a \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} x d t=b U \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} e^{-w t} d t\label{eqn:2.12} \]

En Ecuación\(\ref{eqn:2.12}\),\(s\) es una variable compleja que debe tener valores para los cuales existen las integrales. Con base en la Ecuación\(\ref{eqn:2.12}\), definimos la transformación directa de Laplace de la variable dependiente\(x(t)\) ¹:

\[L[x(t)] \equiv X(s) \equiv \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} x(t) d t\label{eqn:2.13} \]

En Ecuación\(\ref{eqn:2.13}\), la función\(x\) del tiempo\(t\) se transforma por la integración definitiva en una función\(X\) de la variable Laplace\(s\). Además, la ODE de la Ecuación\(\ref{eqn:2.11}\) se transforma en Ecuación\(\ref{eqn:2.12}\), la cual, como encontraremos, se convierte en una ecuación algebraica fácilmente solucionable en lo desconocido\(X(s)\). Después de resolver esa ecuación algebraica para\(X(s)\), entonces invertiremos el proceso para encontrar el desconocido original\(x(t)\) aplicando la transformada inversa de Laplace, denotada como\(L^{-1}[X(s)] \equiv x(t)\). Para cualquier función transformable de Laplace\(f(t)\), y su transformación\(F(s)\), las ecuaciones acompañantes\(L[f(t)]=F(s)\) y\(L^{-1}[F(s)]=f(t)\) se llaman un par de transformación de Laplace.

\ [\ begin {alineado}
\ int_ {t=0} ^ {t=\ infty} e^ {-s t} e^ {-w t} d t &=\ int_ {t=0} ^ {t=\ infty} e^ {- (s+w) t} d t=\ frac {1} {- (s+w)}\ int_ {t=0} ^ {t=\ infty} d\ izquierda [e^ {- (s+w) t}\ derecha] =\ frac {1} {- (s+w)}\ izquierda [e^ {- (s+w) t}\ derecha] _ {t=0} ^ {t=\ infty}\\
&=\ frac {1} {- (s+w)}\ izquierda [e^ {- (s+w)\ infty} -1\ derecha] =\ frac {1} {s+w}
\ final {alineado}\ nonumber\]

Un paso importante en esta derivación involucra lo exponencial complejo, con el uso de las Ecuaciones 2.1.5 y 2.1.12:\(e^{z}=e^{(x+j y)}=e^{x}(\cos y+j \sin y)\). Dado que\(\sin y\) y\(\cos y\) varían periódicamente como\(y\) varía, la única manera de\(e^{z}\) a\(\rightarrow 0 + 0j\) para todos los valores de\(y\) es para\(x \rightarrow-\infty\). Así, en el último paso de la integración, asumimos eso\(\operatorname{Re}(s+w)>0\), o\(\operatorname{Re}(s)>-\operatorname{Re}(w)\), así que eso\(e^{-(s+w) \infty}=0+j 0\). La integración anterior establece el siguiente par de transformaciones de Laplace, que es uno de los pares más importantes para aplicaciones:

\[L\left[e^{-w t}\right]=\frac{1}{s+w} \quad \text { and } \quad L^{-1}\left[\frac{1}{s+w}\right]=e^{-w t}\label{eqn:2.14} \]

Para su comodidad, Transform pair Equation\(\ref{eqn:2.14}\) y todos los demás pares de transformaciones fundamentales de Laplace utilizados en este libro se tabulan en el Apéndice A al final del libro. El Apéndice A también incluye algunas de las derivaciones de transformación más largas pero menos instructivas, en caso de que desee estudiarlas.

A continuación, evaluemos el primer término en el lado izquierdo de Ecuación\(\ref{eqn:2.12}\) por el método estándar de integración por partes en la forma\(\int_{t=0}^{t=\infty} u d v=[u v]_{t=0}^{t=\infty}-\int_{t=0}^{t=\infty} v d u:\)

\ [\ begin {align}
&\ int_ {t=0} ^ {t=\ infty} e^ {-s t}\ cdot\ hat {x} d t=\ left [e^ {-s t} x (t)\ derecha] _ {t=0} ^ {t=\ infty} -\ int_ {t=0} ^ {t=\ infty} x (t) veces (-s) e^ {-s t} d t=\ izquierda [e^ {-s x\ infty} x (\ infty) -e^ {-0} x (0)\ derecha] +s X (s)\\
&=-x (0) +s X (s)\ etiqueta {eqn:2.15a}
\ end {align}\ nonumber\]

Para obtener este resultado, asumimos que\(e^{-(s \times \infty)} x(\infty)=0\), lo que generalmente significa\(\operatorname{Re}(s)>0\). Este resultado es la importante transformación general de Laplace de la primera derivada de cualquier función transformable\(f(t)\):

\[L[\dot{f}(t)]=s F(s)-f(0)\label{eqn:2.15b} \]

La ecuación\(\ref{eqn:2.15b}\) es la base para la derivación de la transformada de Laplace de una derivada de cualquier orden\(n\), que utilizaremos más adelante (Ogata ², 1998, pp. 25-26):

\[L\left[\frac{d^{n}}{d t^{n}} f(t)\right]=s^{n} F(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} \dot{f}(0)-\cdots-\overset{(n-1)}{f}(0)\label{eqn:2.16} \]

Por ejemplo, la transformación de Laplace de la ^2ª derivada es (tarea Problema 2.7):

\[L[\ddot{f}(t)]=s^{2} F(s)-s f(0)-\dot{f}(0)\label{eqn:2.17} \]

Procediendo con la solución de la Ecuación ODE + IC\(\ref{eqn:2.11}\), ahora sustituimos Ecuaciones\(\ref{eqn:2.13}\)\(\ref{eqn:2.14}\),, y\(\ref{eqn:2.15a}\) volvemos\(\ref{eqn:2.12}\) a Ecuación para obtener una ecuación algebraica para transformar\(X(s)\), que se resuelve fácilmente:

\[s X(s)-x(0)-a X(s)=\frac{b U}{s+w} \quad \Rightarrow \quad(s-a) X(s)=x_{0}+\frac{b U}{s+w} \nonumber \]

\[\Rightarrow \quad X(s)=\frac{1}{(s-a)} x_{0}+\frac{b U}{(s-a)(s+w)}\label{eqn:2.18} \]

Para resolver por lo último desconocido\(x(t)\), ahora necesitamos encontrar la transformación inversa\(X(s)\) de in (2-18). El uso de Ecuación nos da\(\ref{eqn:2.14}\) fácilmente la inversa del primer término en el lado derecho:

\[L^{-1}\left[\left(\frac{1}{s-a}\right) x_{0}\right]=x_{0} L^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right]=x_{0} e^{a t}\label{eqn:2.19} \]

Invertir el segundo término en el lado derecho de Ecuación\(\ref{eqn:2.18}\) es un desafío mayor, lo que nos obliga a utilizar la expansión de fracción parcial para expandir ese término en dos términos más simples, cada uno de los cuales tiene la forma fácilmente invertible de una constante dividida por un solo factor de la forma (\(s\)-\(p\)). Primero escribimos el término problemático como dos fracciones más simples con numeradores constantes desconocidos,\(C_1\) y\(C_2\), que se denominan residuos de la expansión de la fracción parcial. (En la siguiente sección se deriva una justificación más detallada de esta forma. ):

\[\frac{1}{(s-a)(s+w)}=\frac{C_{1}}{s-a}+\frac{C_{2}}{s+w} \Rightarrow \frac{C_{1}}{s-a}+\frac{C_{2}}{s+w}=\frac{1}{(s-a)(s+w)}\label{eqn:2.20} \]

Hay dos métodos comunes para encontrar\(C_1\) y\(C_2\), que llamaremos el método “ahorrador de mano de obra” y el método de “fuerza bruta”.

Considere primero el método de ahorro de mano de obra. Pasemos con gran detalle por los pasos requeridos para encontrar\(C_1\), por ejemplo. Primero, multiplica ambos lados de la Ecuación\(\ref{eqn:2.20}\) por, el denominador del término:

\[(s-a)\left(\frac{C_{1}}{s-a}+\frac{C_{2}}{s+w}\right)=C_{1}+(s-a)\left(\frac{C_{2}}{s+w}\right)=(s-a)\left(\frac{1}{(s-a)(s+w)}\right) \nonumber \]

Aislar\(C_1\) en el lado izquierdo:

\[C_{1}=-(s-a)\left(\frac{C_{2}}{s+w}\right)+(s-a)\left(\frac{1}{(s-a)(s+w)}\right) \nonumber \]

Ahora bien, para eliminar el\(C_2\) término del lado derecho, establecer\(s\) =\(a\). Tenga en cuenta que esto no elimina el segundo término del lado derecho porque\((s-1)\) está tanto en el denominador como en el numerador.

\[\begin{align*} C_{1} &=\left[-(s-a)\left(\frac{C_{2}}{s+w}\right)+(s-a)\left(\frac{1}{(s-a)(s+w)}\right)\right]_{s=a} \\[4pt] &=\left[(s-a)\left(\frac{1}{(s-a)(s+w)}\right)\right]_{s=a} \end{align*} \nonumber \]

Así, obtenemos la ecuación requerida para\(C_1\):

\[C_{1}=\left[(s-a)\left(\frac{1}{(s-a)(s+w)}\right)\right]_{s=a}=\frac{1}{a+w} \nonumber \]

Ahora que vemos la lógica del método ahorrador de mano de obra, podemos prescindir de la mayoría de los pasos intermedios y escribir rápidamente la ecuación correspondiente para\(C_2\) directamente desde Ecuación\(\ref{eqn:2.20}\):

\[C_{2}=\left[(s+w)\left(\frac{1}{(s-a)(s+w)}\right)\right]_{s=-w}=\frac{1}{-w-a}=-\frac{1}{a+w} \nonumber \]

A continuación, el método de fuerza bruta comienza con el uso del método algebraico tradicional para combinar las dos fracciones de la ecuación\(\ref{eqn:2.20}\) en una sola fracción:

\[\frac{1}{(s-a)(s+w)}=\frac{C_{1}}{s-a}+\frac{C_{2}}{s+w}=\frac{C_{1}(s+w)+C_{2}(s-a)}{(s-a)(s+w)}=\frac{s\left(C_{1}+C_{2}\right)+\left(C_{1} w-C_{2} a\right)}{(s-a)(s+w)} \nonumber \]

Equiparar coeficientes de potencias similares de\(s\) en los numeradores:

\[s^{1}: 0=C_{1}+C_{2} \Rightarrow C_{2}=-C_{1} \nonumber \]

\[s^{0}: 1=C_{1} w-C_{2} a=C_{1}(w+a) \Rightarrow C_{1}=\frac{1}{a+w}=-C_{2} \nonumber \]

En este sencillo problema, el método de fuerza bruta no es mucho más exigente algebraicamente que el método ahorrador de mano de obra. Sin embargo, para una fracción original un poco más compleja, digamos, una con tres factores polinomiales denominador en lugar de solo dos, el método de fuerza bruta puede requerir órdenes de magnitud más álgebra que el método de ahorro de mano de obra. El punto de esta discusión: ejercer la energía mental para entender el método ahorrador de mano de obra, y usarlo siempre más que el método de fuerza bruta [ver tarea Problema 2.9.2].

Usando la expansión de fracción parcial desarrollada anteriormente, ahora expresamos el segundo término completo en el lado derecho de la ecuación\(\ref{eqn:2.18}\) en la forma fácilmente invertible

\[F(s)=\frac{b U}{(s-a)(s+w)}=\frac{b U}{a+w}\left(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+w}\right) \nonumber \]

Usando la transformada inversa fundamental de\(\ref{eqn:2.14}\) da

\[f(t)=\frac{b U}{a+w}\left(e^{a t}-e^{-w t}\right)\label{eqn:2.21} \]

Finalmente, combinando Ecuaciones\(\ref{eqn:2.19}\) y\(\ref{eqn:2.21}\) da la inversa de Ecuación\(\ref{eqn:2.18}\) y la solución final deseada de la Ecuación ODE + IC\(\ref{eqn:2.11}\):

\[x(t)=x_{0} e^{a t}+\frac{b U}{a+w}\left(e^{a t}-e^{-w t}\right), \text { for } t \geq 0\label{eqn:2.22} \]

La introducción a la transformación de Laplace en esta sección no es matemáticamente rigurosa. El enfoque en la dinámica introductoria del sistema es más con aplicar transformaciones de Laplace que con la teoría detallada. Es relevante, sin embargo, comentar sobre la existencia de las transformaciones de Laplace: generalmente existe una transformación (es decir, la Ecuación integral definitoria\(\ref{eqn:2.13}\) puede evaluarse, en principio) para cualquier función\(f(t)\) para la cual el producto\(e^{-a t}|f(t)| \rightarrow 0\) como\(t \rightarrow \infty\), donde\(a\) es algo finito, constante positiva, real (Hildebrand, 1962, Sección 2.2). Prácticamente hablando, esto significa que cualquier función físicamente realizable, el tipo de función que encontramos en la ingeniería, tiene una transformación de Laplace.

¹ En la Sección 8.4 desarrollamos una definición más general, la Ec. (8-12), para dar cabida a la función unidad-impulso ideal, lo cual es importante en la teoría y aplicaciones de sistemas lineales.

² Fuentes de literatura como esta se describen en detalle en la sección Referencias que sigue al Capítulo 17.