2.3: Expansión de fracción parcial

Examinemos con más detalle la justificación de la forma de expansión de fracción parcial presentada en la Ecuación 2.2.15. Como ejemplo, considere la siguiente suma de tres términos fraccionarios:

\ [\ begin {align}
F_ {3} (s) &=\ suma_ {k=1} ^ {3}\ frac {C_ {k}} {s-p_ {k}} =\ frac {C_ {1}} {s-p_ {1}} +\ frac {C_ {2}} {s-p_ {2}} +\ frac {C_ {3}} {s-p_ {3}}\\ [4pt]
&=\ frac {C_ {1}\ izquierda (s-p_ {2}\ derecha)\ izquierda (s-p_ {3}\ derecha) +C_ {2}\ izquierda (s-p_ {1}\ derecha)\ izquierda (s-p_ {3}\ derecha) +C_ {3}\ izquierda (s-p_ {1}}\ derecho)\ izquierda (s-p_ {2}\ derecha)} {\ izquierda (s-p_ {1}\ derecha)\ izquierda (s-p_ {2}\ derecha)\ izquierda (s-p_ {3}\ derecha)}\ label {eqn:2.23}
\ end {align}\ nonumber\]

En la combinación de los tres términos fraccionarios en una sola fracción, el denominador es un polinomio cúbico (\(n = 3\)), y el grado del polinomio numerador es, como mucho,\(m = 2\). Dependiendo de los valores de las constantes\(C_k\), el grado del polinomio numerador puede ser de 0 a 2, de manera que 0\(\leq\)\(m\) <\(n\).

A continuación, generalicemos la observación del párrafo anterior considerando una suma general de términos fraccionarios en la forma

\[F_{n}(s)=\sum_{k=1}^{n} \frac{C_{k}}{s-p_{k}}\label{eqn:2.24} \]

Si combinamos todos\(n\) estos términos en una sola relación usando el método algebraico tradicional ilustrado en Ecuación\(\ref{eqn:2.23}\), entonces el resultado tendrá la siguiente forma general:

\[F_{n}(s)=\frac{c_{1} s^{m}+c_{2} s^{m-1}+\ldots+c_{m+1}}{\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \cdots\left(s-p_{n}\right)} \nonumber \]

El denominador es un polinomio de grado\(n\), y el numerador es un polinomio de, como máximo, grado\(m\) = (\(n\)− 1). Por lo tanto, podemos concluir lo siguiente: una relación de polinomios, en la que el numerador tiene un grado menor que el del denominador, generalmente se puede expandir en la forma de fracción parcial simple Ecuación\(\ref{eqn:2.24}\). En otras palabras, siempre que 0\(\leq\)\(m\) <\(n\), generalmente podemos encontrar residuos finitos\(C_k\) en la expansión de fracción parcial:

\[F_{n}(s)=\frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n+1}}=\frac{b_{1}\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \cdots\left(s-z_{m}\right)}{a_{1}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \cdots\left(s-p_{n}\right)}=\sum_{k=1}^{n} \frac{C_{k}}{s-p_{k}}\label{eqn:2.25a} \]

con los residuos dados por el método de ahorro de mano de obra como ¹

\[C_{k}=\left[\left(s-p_{k}\right) F_{n}(s)\right]_{s=p_{k}}, k=1,2, \dots, n\label{eqn:2.25b} \]

Consideremos, por ejemplo, parte de la expansión de fracción parcial de una cuadrática dividida por una cúbica:

\[F_{3}(s)=\frac{b_{1} s^{2}+b_{2} s+b_{3}}{\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right)\left(s-p_{3}\right)}=\frac{C_{1}}{s-p_{1}}+\frac{C_{2}}{s-p_{2}}+\frac{C_{3}}{s-p_{3}} \nonumber \]

Usando la ecuación\(\ref{eqn:2.25b}\), para determinar, por ejemplo, residuo\(C_1\) da:

\[C_{1}=\left[\left(s-p_{1}\right) F_{3}(s)\right]_{s=p_{1}}=\frac{b_{1} p_{1}^{2}+b_{2} p_{1}+b_{3}}{\left(p_{1}-p_{2}\right)\left(p_{1}-p_{3}\right)} \nonumber \]

Esta ecuación para\(C_1\) revela una excepción a la regla: esta ecuación claramente no sería válida si el polinomio denominador tuviera raíces repetidas,\(p_{1}=p_{2}\) o\(p_{1}=p_{3}\); en ese caso, una forma diferente a las Ecuaciones\(\ref{eqn:2.25a}\) y\(\ref{eqn:2.25b}\) sería apropiada (Ogata, 1998, pp. 33-34). Ese es un caso especial que abordaremos en este libro sólo cuando surja la necesidad.

Finalmente, observe que es fácil verificar la validez/corrección de una expansión de fracción parcial después de haber resuelto los residuos\(C_k\). Simplemente combine las fracciones individuales en una sola proporción, como se ilustra en la Ecuación\(\ref{eqn:2.23}\); la relación resultante debe ser igual a la proporción original de polinomios que expandimos en fracciones parciales.

¹ Una interesante forma alternativa de Ecuación\(\ref{eqn:2.25b}\) se desarrolla en el Apéndice A, Sección A-2.