4.5: Derivación de la Función Compleja de Frecuencia-Respuesta - Derivación fácil de la función de frecuencia-respuesta compleja para sistemas estables estándar de primer orden.
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Esta sección es un ejemplo de un método mucho más fácil (que el de las Secciones 4.2 y 4.3) para derivar la función de frecuencia-respuesta de un sistema. Encontremos la respuesta de frecuencia de los sistemas estándar de primer orden estables. De la Ecuación 3.4.8 la ODE estable estándar con excitación sinusoidal es
\[\dot{x}+\left(1 / \tau_{1}\right) x=b u(t)=b U \cos \omega t \nonumber \]
Buscamos una respuesta sinusoidal en estado estacionario\(x_{s s}(t)=X(\omega) \cos (\omega t+\phi(\omega))\), en la que\(X(\omega)\) y\(\phi(\omega)\) son funciones a encontrar. El primer paso en el método es tomar la transformada general [para arbitraria\(u(t)\)] Laplace, estableciendo el IC en cero:
\[\left.\left(s+1 / \tau_{1}\right) L[x(t)]\right|_{x_{0}=0}=b L[u(t)] \nonumber \]
A continuación, formamos la función de transferencia general del sistema\(T F(s)\),, definida como la relación entre la transformada de salida y la transformada de entrada, con IC cero:
\[T F(s) \equiv \frac{\left.L[x(t)]\right|_{x_{0}=0}}{L[u(t)]}=\frac{b}{s+1 / \tau_{1}} \nonumber \]
La variable independiente de Laplace\(s\) es compleja en general. Sin embargo, para analizar la respuesta de frecuencia, dejamos\(s\) entrar\(TF(s)\) puramente imaginarios,\(S=j \omega\) (\(\omega\)siendo la frecuencia circular real), produciendo la compleja función frecuencia-respuesta\(FRF(\omega)\):
A continuación, con el uso de las Ecuaciones 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8 y 2.1.11, convertimos\(T F(j \omega) \equiv F R F(\omega)\) algebraicamente en forma polar:
en qué ángulo de fase\(\phi(\omega)=\tan ^{-1}\left(-\omega \tau_{1} / 1\right)=\tan ^{-1}\left(-\omega \tau_{1}\right)\).
Ecuaciones\(\ref{eqn:4.18a}\) y\(\ref{eqn:4.18b}\) definir la función compleja frecuencia-respuesta,\(F R F(\omega)\), de sistemas estándar estables de primer orden. Se demuestra en las Secciones 4.6 y 4.7 para los sistemas LTI en general que la magnitud real de la función\(F R F(\omega)\) es la relación\(|F R F(\omega)|\) de magnitud de la respuesta de frecuencia del sistema, y el ángulo\(\phi(\omega)\) de fase de la función\(F R F(\omega)\) es el ángulo de fase de la respuesta de frecuencia del sistema. Por ejemplo, adaptemos la solución estándar Ecuación\(\ref{eqn:4.18b}\) al sistema amortiguador-resorte, para lo cual [a partir de la Ecuación 4.2.5]\(b=1 / c\) y\(\tau_{1}=c / k\). Por lo tanto, la magnitud\(F R F(\omega)\) de la ecuación\(\ref{eqn:4.18b}\) es
que es idéntica a la relación de\(FRF\) magnitud del sistema amortiguador-resorte\(X(\omega) / F\) de la Ecuación 4.3.8. Además, el ángulo de fase\(FRF(\omega)\) de la ecuación\(\ref{eqn:4.18b}\) es
\[\angle F R F(\omega)=\phi(\omega)=\tan ^{-1}\left(-\omega \tau_{1}\right)\label{eqn:4.20} \]
que es idéntica a la\(FRF\) fase del sistema amortiguador-resorte\(\phi(\omega)\) de la Ecuación 4.3.9. Así, con\(F R F(\omega)\) de Ecuación\(\ref{eqn:4.18b}\), hemos obtenido aquí los mismos resultados finales que antes para el sistema amortiguador-resorte, pero mucho más fácilmente.