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4.5: Derivación de la Función Compleja de Frecuencia-Respuesta - Derivación fácil de la función de frecuencia-respuesta compleja para sistemas estables estándar de primer orden.

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    Esta sección es un ejemplo de un método mucho más fácil (que el de las Secciones 4.2 y 4.3) para derivar la función de frecuencia-respuesta de un sistema. Encontremos la respuesta de frecuencia de los sistemas estándar de primer orden estables. De la Ecuación 3.4.8 la ODE estable estándar con excitación sinusoidal es

    \[\dot{x}+\left(1 / \tau_{1}\right) x=b u(t)=b U \cos \omega t \nonumber \]

    Buscamos una respuesta sinusoidal en estado estacionario\(x_{s s}(t)=X(\omega) \cos (\omega t+\phi(\omega))\), en la que\(X(\omega)\) y\(\phi(\omega)\) son funciones a encontrar. El primer paso en el método es tomar la transformada general [para arbitraria\(u(t)\)] Laplace, estableciendo el IC en cero:

    \[\left.\left(s+1 / \tau_{1}\right) L[x(t)]\right|_{x_{0}=0}=b L[u(t)] \nonumber \]

    A continuación, formamos la función de transferencia general del sistema\(T F(s)\),, definida como la relación entre la transformada de salida y la transformada de entrada, con IC cero:

    \[T F(s) \equiv \frac{\left.L[x(t)]\right|_{x_{0}=0}}{L[u(t)]}=\frac{b}{s+1 / \tau_{1}} \nonumber \]

    La variable independiente de Laplace\(s\) es compleja en general. Sin embargo, para analizar la respuesta de frecuencia, dejamos\(s\) entrar\(TF(s)\) puramente imaginarios,\(S=j \omega\) (\(\omega\)siendo la frecuencia circular real), produciendo la compleja función frecuencia-respuesta\(FRF(\omega)\):

    \[ \left.T F(s)\right|_{s=j \omega} \equiv T F(j \omega) \equiv F R F(\omega)=\frac{b}{1 / \tau_{1}+j \omega}=b \tau_{1} \frac{1}{1+j \omega \tau_{1}}\label{eqn:4.18a} \]

    A continuación, con el uso de las Ecuaciones 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8 y 2.1.11, convertimos\(T F(j \omega) \equiv F R F(\omega)\) algebraicamente en forma polar:

    \[\begin{align} FRF(\omega) &=b \tau_{1} \frac{1}{1+j \omega \tau_{1}} \times \frac{1-j \omega \tau_{1}}{1-j \omega \tau_{1}} \\[4pt] &=b \tau_{1} \frac{\sqrt{1+\left(\omega \tau_{1}\right)^{2}}}{1+\left(\omega \tau_{1}\right)^{2}} \exp \left[j \tan ^{-1}\left(\frac{-\omega \tau_{1}}{1}\right)\right] \\[4pt] &\equiv |F R F(\omega)| e^{j \angle F R F(\omega)} \\[4pt] &=\frac{b \tau_{1}}{\sqrt{1+\left(\omega \tau_{1}\right)^{2}}} e^{j \phi(\omega)}\label{eqn:4.18b} \end{align} \]

    en qué ángulo de fase\(\phi(\omega)=\tan ^{-1}\left(-\omega \tau_{1} / 1\right)=\tan ^{-1}\left(-\omega \tau_{1}\right)\).

    Ecuaciones\(\ref{eqn:4.18a}\) y\(\ref{eqn:4.18b}\) definir la función compleja frecuencia-respuesta,\(F R F(\omega)\), de sistemas estándar estables de primer orden. Se demuestra en las Secciones 4.6 y 4.7 para los sistemas LTI en general que la magnitud real de la función\(F R F(\omega)\) es la relación\(|F R F(\omega)|\) de magnitud de la respuesta de frecuencia del sistema, y el ángulo\(\phi(\omega)\) de fase de la función\(F R F(\omega)\) es el ángulo de fase de la respuesta de frecuencia del sistema. Por ejemplo, adaptemos la solución estándar Ecuación\(\ref{eqn:4.18b}\) al sistema amortiguador-resorte, para lo cual [a partir de la Ecuación 4.2.5]\(b=1 / c\) y\(\tau_{1}=c / k\). Por lo tanto, la magnitud\(F R F(\omega)\) de la ecuación\(\ref{eqn:4.18b}\) es

    \[|F R F(\omega)|=\frac{X(\omega)}{U}=\frac{b \tau_{1}}{\sqrt{1+\left(\omega \tau_{1}\right)^{2}}}=\frac{1}{k} \frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega \tau_{1}\right)^{2}}}\label{eqn:4.19} \]

    que es idéntica a la relación de\(FRF\) magnitud del sistema amortiguador-resorte\(X(\omega) / F\) de la Ecuación 4.3.8. Además, el ángulo de fase\(FRF(\omega)\) de la ecuación\(\ref{eqn:4.18b}\) es

    \[\angle F R F(\omega)=\phi(\omega)=\tan ^{-1}\left(-\omega \tau_{1}\right)\label{eqn:4.20} \]

    que es idéntica a la\(FRF\) fase del sistema amortiguador-resorte\(\phi(\omega)\) de la Ecuación 4.3.9. Así, con\(F R F(\omega)\) de Ecuación\(\ref{eqn:4.18b}\), hemos obtenido aquí los mismos resultados finales que antes para el sistema amortiguador-resorte, pero mucho más fácilmente.


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