4.6: Función de transferencia - Definición General

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Para cualquier LTI, sistema físico de entrada única y salida única (SISO), denotamos la entrada como\(u(t)\) y la salida como\(x(t)\). Para un sistema de orden\(n\) ^th, en general, la entrada y salida están relacionadas por una ODE de la forma

\[a_{1} \frac{d^{n} x}{d t^{n}}+a_{2} \frac{d^{n-1} x}{d t^{n-1}}+\ldots+a_{n+1} x=b_{1} \frac{d^{m} u}{d t^{m}}+b_{2} \frac{d^{m-1} u}{d t^{m-1}}+\ldots+b_{m+1} u\label{eqn:4.21} \]

\(a_{1}, \ldots, a_{n+1}\)y\(b_{1}, \ldots, b_{m+1}\) son constantes (con el sistema de numeración con clave de notación MATLAB), y\(m\)\(\leq\)\(n\). Además, suponemos que el sistema es estable, lo que se define con mayor precisión en la Sección 4.7. Tomando la transformación de Laplace de la ODE, con todos los CI iguales a cero, da

\[\left(a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n+1}\right) L[x(t)]_{I C_s=0}=\left(b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m+1}\right) L[u(t)]\label{eqn:4.22} \]

Entonces, a partir de Ecuación\(\ref{eqn:4.22}\), la función de transferencia del sistema, definida como la relación de la transformada de salida a la transformada de entrada, con cero CI, es la relación de dos polinomios,

\[T F(s) \equiv \frac{L[x(t)]_{I C_s=0}}{L[u(t)]}=\frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n+1}}\label{eqn:4.23} \]

Es apropiado afirmar aquí (sin pruebas) que la función de transferencia de cualquier sistema físicamente realizable tiene\(m\)\(\leq\)\(n\), es decir, el grado del polinomio numerador es menor o igual al grado del polinomio denominador. La condición\(m\)\(\leq\)\(n\) hace que la función de transferencia sea causal, lo que significa que la salida actual (en el tiempo) del sistema depende únicamente de los valores pasados y presentes (no futuros) de la entrada. En general, no se pueden predecir los valores futuros de una entrada, por lo que es lógico que un sistema real y su función de transferencia sean causales. Ver Bélanger, 1995, página 440.

Observe también de Ecuación\(\ref{eqn:4.23}\) que, si se da\(TF(s)\) y entrada\(u(t)\), podemos expresar la transformación de la salida con cero condiciones iniciales como

\[\left.L[x(t)]\right|_{I C s=0}=T F(s) \times L[u(t)]\label{eqn:4.24} \]