4.7: Función de frecuencia-respuesta de la función de transferencia

Para la respuesta de frecuencia de un sistema estable LTI SISO general, definimos la entrada como un coseno variable en el tiempo, con amplitud\(U\) y frecuencia circular\(\omega\),

\[u(t)=U \cos \omega t=\frac{U}{2}\left(e^{j \omega t}+e^{-j \omega t}\right)\label{eqn:4.25} \]

en el que aplicamos la forma exponencial compleja para el coseno que se deriva de la ecuación de Euler (Problema 2.1). La transformada de Laplace de la ecuación de entrada\(\ref{eqn:4.25}\) es

\[L[u(t)]=\frac{U}{2}\left(\frac{1}{s-j \omega}+\frac{1}{s+j \omega}\right)\label{eqn:4.26} \]

Sustituyendo la Ecuación 4.6.3 y la Ecuación\(\ref{eqn:4.26}\) en la Ecuación 4.6.4 da

\[L[x(t)]_{I C_S=0}=\left(\frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n+1}}\right) \frac{U}{2}\left(\frac{1}{s-j \omega}+\frac{1}{s+j \omega}\right)\label{eqn:4.27} \]

Al expandirnos en fracciones parciales, generalmente podremos lanzar Ecuación\(\ref{eqn:4.27}\) en la forma

\[L[x(t)]_{I C_S=0}=\frac{A}{s-j \omega}+\frac{B}{s+j \omega}+\sum_{k=1}^{n} \frac{C_{k}}{s-p_{k}}\label{eqn:4.28} \]

en el que\(A\)\(B\),\(C_k\), y\(\rho_k\) [los polos de\(TF(s)\)] todos son constantes. Tomando la transformada inversa de Ecuación\(\ref{eqn:4.28}\) da

\[x(t)=A e^{j \omega t}+B e^{-j \omega t}+\sum_{k=1}^{n} C_{k} e^{p_{k} t}\label{eqn:4.29} \]

Los dos primeros términos del lado derecho de la ecuación\(\ref{eqn:4.29}\) están asociados con la respuesta sinusoidal forzada en estado estacionario, y el tercer término se asocia con la respuesta limitada por funciones exponenciales reales. La naturaleza de la estabilidad del sistema está determinada por los polos\(p_k\), en particular, por sus partes reales. Si\(\operatorname{Re}\left[p_{k}\right]<0\) para todos\(k\) = 1, 2,\(\dots\),\(n\), entonces cada uno de los\(e^{p_{k} t}\) términos está delimitado por un exponencial en descomposición, es decir,\(\rightarrow\) 0 as\(t \rightarrow \infty\). Un sistema para el que para todos\(k\) se dice que es estable. Por lo tanto, para la respuesta sinusoidal en estado estacionario (después de que todos los transitorios acotados exponencialmente hayan decaído) de un sistema estable, solo\(\ref{eqn:4.29}\) quedan los dos primeros términos del lado derecho de la ecuación,

\[x_{s s}(t)=A e^{j \omega t}+B e^{-j \omega t}\label{eqn:4.30} \]

Nuestro objetivo ahora es encontrar las constantes complejas\(A\) y\(B\) en Ecuación\(\ref{eqn:4.30}\). El primer paso es reconocer matemáticamente que\(x_{s s}(t)\) debe ser una función real; es decir, para representar el comportamiento físico real, la Ecuación\(\ref{eqn:4.30}\) no puede tener ningún componente imaginario. Del Problema 2.5, concluimos que\(B\) debe ser el complejo conjugado de\(A\), es decir,\(B=\bar{A}\). Por tanto, Ecuación\(\ref{eqn:4.30}\) se convierte

\[x_{s s}(t)=A e^{j \omega t}+\bar{A} e^{-j \omega t}\label{eqn:4.31} \]

La transformación de Laplace de la ecuación\(\ref{eqn:4.31}\) es

\[L\left[x_{s s}(t)\right]=\frac{A}{s-j \omega}+\frac{\bar{A}}{s+j \omega}\label{eqn:4.32} \]

Reconociendo que buscamos solo la constante\(A\) para la respuesta sinusoidal en estado estacionario (no ninguna de las\(C_k\) constantes asociadas con la respuesta transitoria), ahora combinamos la Ecuación\(\ref{eqn:4.32}\) y la Ecuación\(\ref{eqn:4.26}\) en la Ecuación 4.6.4,

\[L\left[x_{s s}(t)\right]=\frac{A}{s-j \omega}+\frac{\bar{A}}{s+j \omega}=T F(s) \frac{U}{2}\left(\frac{1}{s-j \omega}+\frac{1}{s+j \omega}\right)\label{eqn:4.33} \]

Para encontrar la constante compleja\(A\) y su conjugación, utilizamos el método de ahorro de mano de obra para la expansión de fracción parcial del Capítulo 2,

\[A=\left[(s-j \omega) T F(s) \frac{U}{2}\left(\frac{1}{s-j \omega}+\frac{1}{s+j \omega}\right)\right]_{s=j \omega}=\frac{U}{2} T F(j \omega)\label{eqn:4.34} \]

\[\bar{A}=\left[(s+j \omega) T F(s) \frac{U}{2}\left(\frac{1}{s-j \omega}+\frac{1}{s+j \omega}\right)\right]_{s=-j \omega}=\frac{U}{2} T F(-j \omega)\label{eqn:4.35} \]

La comparación de la ecuación\(\ref{eqn:4.34}\) y la ecuación\(\ref{eqn:4.35}\) muestra que

\[T F(-j \omega)=\overline{T F(j \omega)}\label{eqn:4.36} \]

Entonces ahora podemos denotar los términos de la función de transferencia en forma polar general:

\[T F(j \omega)=|T F(j \omega)| e^{j \phi(\omega)} \label{eqn:4.37} \]

donde está la fase\(\phi(\omega)=\angle[T F(j \omega)]\).

\[T F(-j \omega)=|T F(j \omega)| e^{-j \phi(\omega)}\label{eqn:4.38} \]

Sustituir ecuaciones\(\ref{eqn:4.37}\),,\(\ref{eqn:4.38}\)\(\ref{eqn:4.34}\), y de\(\ref{eqn:4.35}\) nuevo en Ecuación\(\ref{eqn:4.31}\) da

\[x_{s s}(t)=A e^{j \omega t}+\bar{A} e^{-j \omega t}=\frac{U}{2}|T F(j \omega)|\left( e^{j(\omega t+\phi(\omega))}+e^{-j(\omega t+\phi(\omega))}\right)\label{eqn:4.39} \]

Aplicando nuevamente la fórmula de la ecuación de Euler que relaciona el coseno con exponenciales complejos da el resultado final deseado,

\[\begin{align} x_{s s}(t) &=U|T F(j \omega)| \cos (\omega t+\phi(\omega)) \\[4pt] & \equiv X(\omega) \cos (\omega t+\phi(\omega))\label{eqn:4.40} \end{align} \]

en el que\(X(\omega)\) y\(\phi(\omega)\) son, respectivamente, la amplitud (magnitud) y la fase de la respuesta sinusoidal en estado estacionario. Tenga en cuenta que\(|T F(j \omega)|=X(\omega) / U\), la relación de magnitud.

Por lo tanto, definimos que la función\(F R F(\omega)\) compleja frecuencia-respuesta es\(T F(j \omega)\), Ecuación\(\ref{eqn:4.37}\). Expresar\(F R F(\omega)\) en forma polar nos da la relación de magnitud FRF y fase de manera directa, y relativamente fácil (sin todo el trabajo de encontrar la solución particular de la ODE por el método de coeficientes indeterminados, o de encontrar la respuesta temporal completa por transformación directa e inversa de Laplace, etc. ):

\[F R F(\omega) \equiv T F(j \omega)=\frac{X(\omega)}{U} e^{j \phi(\omega)}\label{eqn:4.41} \]

Este resultado es general para los sistemas LTI SISO, es válido para todos los sistemas considerados en este libro, y es ampliamente utilizado en la práctica de ingeniería.