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5.2: Componentes pasivos - Resistor, Capacitor, Inductor

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    84662
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Denotamos el potencial eléctrico, el voltaje en voltios (V) unidades SI, en un punto en un circuito como\(e(t)\), y el flujo de partículas cargadas positivamente, la corriente eléctrica en amperios (A) unidades SI, como\(i(t)\). Estas dos cantidades eléctricas son las principales variables que aparecerán en derivaciones de las ODEs que describen el comportamiento dinámico de los circuitos.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Resistencia en un circuito simple

    El circuito dibujado en la Figura\(\PageIndex{1}\) representa una resistencia lineal ideal, con\(R\) ohmios de resistencia (generalmente denotada por el omega superior,\(\text{\omega\)\)) en unidades SI. La diferencia de voltaje\(e_{1}-e_{2}\) entre los terminales positivo y negativo de una batería hace que la corriente fluya\(i\) a través de la resistencia. El material de la resistencia es un conductor eléctrico, pero un conductor pobre que proporciona mucha más resistencia al flujo de corriente que un buen conductor como el cable de cobre. Esta resistencia convierte parte de la energía eléctrica en energía térmica, haciendo que la temperatura de la resistencia suba ligeramente. Para una resistencia estándar, producida comercialmente, la relación entre\(e_{1}-e_{2}\) y\(i\) es lineal, con resistencia\(R\) definida como la constante de proporcionalidad (Halliday y Resnick, 1960, Secciones 31-2 y 31-3). Esta relación se conoce como ley de Ohm (después del físico alemán Georg Simon Ohm, 1787-1854), y generalmente se expresa en una de las dos formas siguientes:

    \[e_{1}-e_{2}=i R \Rightarrow i=\frac{e_{1}-e_{2}}{R}\label{eqn:5.1} \]

    La ecuación\(\ref{eqn:5.1}\) se aplica en cada instante, incluso si los voltajes y la corriente varían con el tiempo.

    Observe de la ley de Ohm la equivalencia unitaria Ω = V/A; esta relación dando el ohm en términos del voltio y el amplificador es útil para establecer unidades correctas en los cálculos. Supongamos, por ejemplo, que se impone una diferencia de 10 voltios a través de una resistencia de 5 kΩ, números típicos para circuitos de instrumentación. Entonces, a partir de la ecuación\(\ref{eqn:5.1}\), la corriente a través de la resistencia es

    \[i=\frac{10 \mathrm{V}}{5 \times 10^{3} \mathrm{V} / \mathrm{A}}=2 \mathrm{e}-3 \mathrm{A} \equiv 2 \mathrm{mA}. \nonumber \]

    Los dos ejemplos siguientes sirven para introducir un principio físico fundamental para los circuitos eléctricos, la ley actual de Kirchhoff (abreviada “KCL”, después del físico alemán Gustav Robert Kirchhoff, 1824-1887), y para ilustrar aplicaciones de KCL.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Dadas las resistencias\(R_1\) y\(R_2\) dispuestas en serie, como en la figura a continuación, se encuentra la resistencia única equivalente\(R_{eq}\).

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Solución

    De la figura y la ecuación\(\ref{eqn:5.1}\),

    \[i_{1}=\frac{e_{1}-e_{2}}{R_{1}}, i_{2}=\frac{e_{2}-e_{3}}{R_{2}}, i=\frac{e_{1}-e_{3}}{R_{e q}} \nonumber \]

    La forma de KCL relevante para esta situación es: la cantidad de corriente es continua en un arreglo en serie, de manera que eso\(i_{1}=i_{2} \equiv i\). [Esta condición de continuidad para la corriente eléctrica es directamente análoga a la condición de continuidad para un fluido incompresible: el caudal volumétrico (área\(\times\) transversal de velocidad promedio) permanece constante en todos los puntos a lo largo de un tubo o canal de flujo.] El cambio de voltaje total es la suma de los cambios individuales,

    \[e_{1}-e_{3}=\left(e_{1}-e_{2}\right)+\left(e_{2}-e_{3}\right)=i_{1} R_{1}+i_{2} R_{2}=i\left(R_{1}+R_{2}\right) \nonumber \]

    \[\Rightarrow \quad i=\frac{e_{1}-e_{3}}{R_{1}+R_{2}} \Rightarrow R_{e q}=R_{1}+R_{2} \nonumber \]

    La resistencia de una combinación en serie de resistencias es la suma de las resistencias individuales.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Dadas las resistencias\(R_1\) y\(R_2\) dispuestas en paralelo, como en la figura a continuación, se encuentra la resistencia única equivalente\(R_{eq}\).

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Solución

    En este caso, hay uniones de circuito en ambos lados de las resistencias paralelas. El KCL más general aplicable aquí es: la cantidad de corriente que sale de un cruce es igual a la cantidad de corriente que ingresa al cruce, de manera que eso\(i_{1}+i_{2}=i\). La diferencia de voltaje es la misma en cada una de las resistencias paralelas, por lo que KCL en términos de diferencias de voltaje es

    \[\frac{e_{1}-e_{2}}{R_{1}}+\frac{e_{1}-e_{2}}{R_{2}}=\frac{e_{1}-e_{2}}{R_{e q}} \Rightarrow \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R_{e q}}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1} R_{2}} \Rightarrow R_{e q}=\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \nonumber \]

    La resistencia equivalente (efectiva) es menor que la menor de las dos resistencias paralelas.

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Capacitor en un circuito simple

    El circuito dibujado en la Figura\(\PageIndex{4}\) representa un condensador lineal, con\(C\) faradios de capacitancia (F) en unidades SI. Un generador de voltaje produce la diferencia de voltaje posiblemente variable en el tiempo\(e_{1}-e_{2}\) a través del condensador. El símbolo gráfico que representa el condensador representa dos placas separadas por un material dieléctrico (aislante). Si hay una diferencia de voltaje entre las placas de dicho componente, aparece una carga eléctrica positiva +\(q\) culombios (unidad SI) en una placa, y una carga eléctrica negativa −\(q\) culombios aparece en la otra placa (Halliday y Resnick, 1960, Sección 30-2). La cantidad de carga\(q\) es proporcional a la diferencia de voltaje, con capacitancia\(C\) definida como la constante de proporcionalidad:

    \[q=C\left(e_{1}-e_{2}\right)\label{eqn:5.2} \]

    Si la diferencia de voltaje es constante, entonces la carga en las placas permanece constante, de manera que no hay flujo de partículas cargadas, es decir, no hay corriente, que es la variación con el tiempo de la carga:\(i(t)=\frac{d q}{d t}\). Sin embargo, si el voltaje varía con el tiempo, entonces la corriente fluye a través del circuito en proporción con la derivada de la diferencia de voltaje:

    \[i(t)=\frac{d q}{d t}=C \frac{d\left(e_{1}-e_{2}\right)}{d t}=C\left(\dot{e}_{1}-\dot{e}_{2}\right)\label{eqn:5.3} \]

    Por el contrario, la diferencia de voltaje a través del condensador se puede expresar en términos de la corriente integrando la ecuación\(\ref{eqn:5.3}\) desde el tiempo inicial\(t_0\) (cuando se supone que se conocen los CI) hasta el tiempo arbitrario\(t>t_{0}\):

    \[\int_{\tau=t_{0}}^{\tau=t} i(\tau) d \tau=C \int_{\tau=t_{0}}^{\tau=t} \frac{d\left(e_{1}-e_{2}\right)}{d \tau} d \tau=C\left[\left.\left(e_{1}-e_{2}\right)\right|_{t}-\left.\left(e_{1}-e_{2}\right)\right|_{t_{0}}\right] \nonumber \]

    \[\Rightarrow e_{1}(t)-e_{2}(t)=e_{1}\left(t_{0}\right)-e_{2}\left(t_{0}\right)+\frac{1}{C} \int_{\tau=t_{0}}^{\tau=t} i(\tau) d \tau\label{eqn:5.4} \]

    Nota de\(\ref{eqn:5.3}\) la Ecuación la equivalencia unitaria\(A=F \times \frac{V}{s } \Rightarrow F=\frac{A s }{V}\); esta relación para el farado en términos del amplificador, el voltio y el segundo es útil para aclarar unidades en los cálculos. Supongamos, por ejemplo, que un circuito de instrumentación contiene un condensador con\(C\) = 0.25\(\mu\) F = 0.25e−6 F, un valor típico. Si, en un instante particular, el voltaje a través del condensador está cambiando a la velocidad de 6 000 V/s, entonces la corriente a través del condensador es, de la ecuación\(\ref{eqn:5.3}\),\(i=\left(0.25 \times 10^{-6} \frac{\mathrm{A}-\mathrm{sec}}{\mathrm{V}}\right) \times\left(6 \times 10^{3} \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{sec}}\right)=1.5 \times 10^{-3} \mathrm{A} \equiv 1.5 \mathrm{mA}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\) - 1st order, \(RC\) low-pass filter

    Este es un circuito que contiene tanto una resistencia como un condensador. Se denota la señal de voltaje de entrada producida por alguna fuente\(e_{i}(t)\), y se denota la señal filtrada de salida\(e_{o}(t)\). La figura\(\PageIndex{5}\) representa este filtro gráficamente tanto en forma de circuito cerrado simple en

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    Figura\(\PageIndex{5}\): circuito de filtro de\(RC\) paso bajo

    la izquierda, y la forma más moderna a la derecha, en la que el potencial de tierra común (referencia) se denota con un símbolo especial y se le asigna el valor cero voltios, al que se hace referencia a todos los demás voltajes del circuito. Los terminales de entrada y salida son denotados por pequeños círculos. Obsérvese, en particular, que los terminales de salida están aislados de la porción portadora de corriente del circuito; esto representa la situación realista en la que el voltaje de salida del filtro es la entrada a algún otro circuito que tiene una resistencia de entrada muy alta, evitando así esencialmente cualquier corriente de entrada. Este circuito aguas abajo podría ser algún instrumento de medición (osciloscopio, voltímetro, etc.), u otra etapa de un circuito más grande del cual el\(RC\) circuito es solo una parte. Tenga en cuenta también que este\(RC\) circuito, y cualquier circuito aguas arriba en su entrada, y cualquier circuito aguas abajo en su salida, todos deben estar referenciados al mismo voltaje de tierra, que es constante y es el voltaje “cero” relativo a los otros voltajes en el circuito; esto es un requisito importante para circuitos prácticos.

    Solución

    Para derivar la ODE describiendo la dinámica de este filtro de\(RC\) paso bajo, utilizamos la Ecuación\(\ref{eqn:5.1}\) para la corriente\(i_R\) a través de la resistencia, y Ecuación\(\ref{eqn:5.3}\) para la corriente\(i_C\) a través del condensador:\(i_{R}=\frac{e_{i}-e_{o}}{R}, i_{C}=C\left(\dot{e}_{o}-\dot{0}\right)=C \dot{e}_{o}\). La resistencia y el condensador están en serie, por lo que la ley actual de Kirchhoff relevante para esta situación es\(i_{C}=i_{R}\):

    \[\frac{e_{i}-e_{o}}{R}=C \dot{e}_{o} \Rightarrow \dot{e}_{o}+\frac{1}{R C} e_{o}=\frac{1}{R C} e_{i} \Rightarrow \dot{e}_{o}+\frac{1}{\tau_{1}} e_{o}=\frac{1}{\tau_{1}} e_{i}\label{eqn:5.5} \]

    en la que\(\tau_{1} \equiv R C\) es la constante de tiempo de primer orden.

    Dados los CI sobre el voltaje de salida\(e_{o}(t)\) y el voltaje de entrada dado\(e_{i}(t)\), podemos en principio resolver la ecuación\(\ref{eqn:5.5}\) para\(e_{o}(t)\) usar los métodos matemáticos discutidos anteriormente. En particular, la respuesta de frecuencia es el comportamiento dinámico que es de mayor interés práctico para cualquier circuito diseñado para ser un filtro. Para la respuesta de frecuencia, el voltaje de entrada es\(e_{i}(t)=E_{i} \cos \omega t\) y el voltaje de salida sinusoidal de estado estacionario es\(e_{o}(t)=E_{o}(\omega) \times \cos (\omega t+\phi(\omega))\). Encontremos la respuesta de frecuencia simplemente adaptando una solución estándar previamente derivada. Primero, comparamos la Ecuación\(\ref{eqn:5.5}\) con la Ecuación 3.4.8\(\dot{x}+\left(1 / \tau_{1}\right) x= b u(t)\), que es la ODE estándar para sistemas estables de primer orden. Si definimos\(u(t)= U \cos \omega t \equiv e_{i}(t) \Rightarrow U \equiv E_{i}\), entonces la otra constante de la ecuación estándar se vuelve\(b=1 / \tau_{1}\). Por lo tanto, la relación de magnitud de FRF estándar Ecuación 4.5.7 se adapta como

    \[\frac{X(\omega)}{U}=\frac{b \tau_{1}}{\sqrt{1+\left(\omega \tau_{1}\right)^{2}}}=\frac{E_{o}(\omega)}{E_{i}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega \tau_{1}\right)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega / \omega_{b}\right)^{2}}}\label{eqn:5.5.5} \]

    y la fase estándar de FRF Ecuación 4.5.8 se adapta como\(\phi(\omega)=\tan ^{-1}\left(-\omega \tau_{1}\right)=\tan ^{-1}\left(-\omega / \omega_{b}\right)\) en la que se encuentra la frecuencia de ruptura\(\omega_{b}=1 / \tau_{1}=1 / R C=2 \pi f_{b}\). La Figura\(\PageIndex{6}\) (adaptada de la Figura 4.3.3) es el gráfico logarítmico logarítmico de relación de magnitud versus frecuencia, que muestra claramente el carácter de paso bajo de la respuesta de frecuencia.

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    Figura\(\PageIndex{6}\): Relación log-logarítmica de magnitud de filtro de\(RC\) paso bajo de primer orden

    La ODE gobernante del filtro paso bajo amortiguador-resorte serie mecánica en la Figura 3.7.4 es la Ecuación 3.7.5,\(\tau_{1} \dot{x}_{o}+x_{o}=x_{i}(t)\) (ver también tarea Problema 4.3), que tiene exactamente la misma forma que la Ecuación\(\ref{eqn:5.5}\). En consecuencia, el filtro eléctrico de paso bajo es un análogo eléctrico exacto del filtro de paso bajo mecánico,\(e_{i}(t)\) siendo el voltaje de entrada directamente análogo a la traslación de entrada\(x_{i}(t)\), el voltaje de salida\(e_{o}(t)\) a la traslación de salida\(x_{o}(t)\), y la constante eléctrica de tiempo\(\tau_{1}=R C\) a mecánica constante de tiempo\(\tau_{1}=c / k\).

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    Figura\(\PageIndex{7}\): Inductor ideal

    El componente eléctrico pasivo dibujado en la Figura\(\PageIndex{7}\) representa un inductor lineal ideal, con inductancia\(L\) henry (H) en unidades SI. Se muestra una corriente variable en\(i(t)\) el tiempo que fluye a través del inductor. El símbolo gráfico que denota el inductor representa una bobina de cable conductor. Si la corriente cambia con el tiempo en dicha bobina, entonces aparece una diferencia de voltaje a través de la bobina, una diferencia de voltaje que se opone al cambio de corriente (Halliday y Resnick, 1960, Secciones 36-1 y 36-3). Esta diferencia de voltaje se llama una fuerza electromotriz autoinducida; es una manifestación de la interacción entre la electricidad y el magnetismo que se describe por las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell (según el físico escocés James Clerk Maxwell, 1831-1879). La emf autoinducida es proporcional a la tasa de cambio de corriente, con inductancia\(L\) definida como la constante de proporcionalidad:

    \[e_{1}-e_{2}=L \frac{d i}{d t}\label{eqn:5.6} \]

    Puede que le resulte difícil percibir cómo Ecuación\(\ref{eqn:5.6}\) representa físicamente una diferencia de voltaje que se opone al cambio de corriente\(d i / d t\). Si es así, entonces el siguiente ejemplo debería ilustrar esta característica de manera más comprensible.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\) - 1st order \(LR\) circuit

    Los inductores reales no se utilizan en circuitos de instrumentación casi tan a menudo como las resistencias y condensadores. Además, no existe tal cosa como el componente de instrumentación inductor ideal de la Figura\(\PageIndex{7}\). Debido a que un componente inductor consiste principalmente en alambre enrollado, y debido a que una longitud considerable de alambre muy fino acumula resistencia, un inductor real generalmente tiene resistencia no despreciable, así como inductancia. Un modelo de circuito común, simple y aproximado para tal inductor real es una combinación en serie de un inductor ideal y una resistencia,\(L\) y\(R_L\) en el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\). En este circuito,\(e_{i}(t)\) se encuentra el voltaje de entrada (después de que el interruptor\(S\) esté cerrado a la posición\(c\)), y\(e_{o}(t)\) es el voltaje de salida. \(R\)es una resistencia colocada entre el inductor y tierra para permitir la detección (por un osciloscopio, por ejemplo) de\(e_{o}(t)\), que está directamente relacionada con la corriente por\(e_{o}(t)=R i(t)\).

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    Figura\(\PageIndex{8}\):\(LR\) circuito

    Solución

    A continuación, derivamos una ODE que gobierna el comportamiento dinámico del\(LR\) circuito en la Figura\(\PageIndex{8}\). Observe que la derivada de corriente,\(d i / d t\), aparece en la Ecuación\(\ref{eqn:5.6}\), a diferencia de la Ecuación\(\ref{eqn:5.1}\) para una resistencia y Ecuación\(\ref{eqn:5.3}\) para condensador, en la que las ecuaciones de corriente\(i(t)\) aparece directamente. Debido a esto, no suele ser conveniente aplicar la ley actual de Kirchhoff para un circuito que contenga un inductor. Por lo general, es mejor que dicho circuito aplique la ley de voltaje de Kirchhoff (abreviada “KVL”): la suma de todas las subidas de voltaje alrededor de un bucle de circuito es cero. Si procedemos alrededor del bucle del circuito en la dirección del flujo de corriente positivo definido, entonces el “aumento de voltaje” a través de cualquier componente (incluido el generador de voltaje de entrada y cada componente pasivo) se define como el voltaje ascendente menos el voltaje descendente. Para escribir KVL para este\(LR\) circuito, arrancamos en el generador de voltaje de entrada y procedemos en sentido horario:

    \[\left(e_{i}-0\right)+\left(e_{m}-e_{i}\right)+\left(e_{o}-e_{m}\right)+\left(0-e_{o}\right)=0\label{eqn:5.7} \]

    La ley de tensión de Kirchhoff es una ley fundamental de los circuitos, pero tenga en cuenta que también es solo una identidad algebraica. A continuación, sustituimos la ecuación\(\ref{eqn:5.6}\) y la ley de Ohm por la ecuación\(\ref{eqn:5.7}\):

    \[\left(e_{i}-0\right)+\left(-L \frac{d i}{d t}\right)+\left(-R_{L} i\right)+(-R i)=0 \Rightarrow L \frac{d i}{d t}+\left(R_{L}+R\right) i=e_{i}(t)\label{eqn:5.8} \]

    \(\ref{eqn:5.8}\)La ecuación es una ODE LTI de orden st estable que se puede resolver para voltaje de entrada arbitrario\(e_{i}(t)\). Por ejemplo, supongamos que todos los CI = 0 y que el voltaje de entrada es un paso,\(e_{i}(t)=E_{i} H(t)\), lo que se logra con el uso de una batería y un interruptor, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\). Comparando la Ecuación\(\ref{eqn:5.8}\) con la ecuación estándar estable de 1 er orden ODE Ecuación 3.4.8, adaptamos la solución estándar de respuesta escalonada Ecuación 3.4.9 para\(e_{i}(t) \equiv u(t)\) que\(E_{i} \equiv U\), para escribir las cantidades de respuesta eléctrica como

    \[i(t)=\frac{E_{i}}{R_{L}+R}\left(1-e^{-t / \tau_{1}}\right), 0 \leq t \quad \text { in which } \quad \tau_{1}=\frac{L}{R_{L}+R}\label{eqn:5.9a} \]

    \[\Rightarrow e_{o}(t)=R i(t)=\frac{R}{R_{L}+R} E_{i}\left(1-e^{-t / \tau_{1}}\right) \equiv E_{o}\left(1-e^{-t / \tau_{t}}\right), \quad E_{o} \equiv \frac{R}{R_{L}+R} E_{i}\label{eqn:5.9b} \]

    Step response Ecuaciones\(\ref{eqn:5.9a}\) y muestran\(\ref{eqn:5.9b}\) claramente el efecto de la inductancia en oponerse y retrasar la subida del flujo de corriente. Si el inductor no estuviera presente (es decir, si\(L\) = 0) en el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\), entonces el circuito sería un divisor de voltaje simple (Problema 5.1), y el voltaje de salida de respuesta de paso completo se lograría instantáneamente\(e_{o}(t)=E_{o} H(t)\), en lugar de subir gradualmente como en la Ecuación \(\ref{eqn:5.9b}\).

    La respuesta de este circuito ilustra el efecto físico de la emf autoinducida del inductor, Ecuación\(\ref{eqn:5.6}\). En este circuito, el voltaje ascendente del inductor está limitado a ser la entrada\(e_{i}(t)\), por lo que el emf autoinducido debe actuar en\(e_{m}(t)\), el voltaje en el terminal aguas abajo del inductor. Es útil derivar de Ecuaciones\(\ref{eqn:5.7}\),\(\ref{eqn:5.8}\),\(\ref{eqn:5.9a}\), y\(\ref{eqn:5.9b}\) la ecuación para ese voltaje,\(e_{m}(t)=e_{o}(t)+R_{L} i(t)=E_{i}\left(1-e^{-t / \tau_{T}}\right)\), y la ecuación para la tasa de cambio de corriente,\(d i / d t=\left(E_{i} / L\right) e^{-t / \tau_{1}}\). En el tiempo\(t\) =\(0^+\) (justo después de\(S\) que el interruptor esté cerrado a la posición\(c\)), tenemos\(d i / d t(0+)=E_{i} / L>0\) pero\(e_{m}(0+)=0\) y\(i(0+)=0\). Así, en este instante, el inductor mantiene su voltaje aguas abajo en cero y evita que la corriente suba instantáneamente como una función de paso, lo que haría si el inductor no estuviera presente. Después del tiempo\(t=0+\), la corriente aumenta gradualmente, pero a un ritmo decreciente, y el aumento de la corriente sigue siendo opuesto por el voltaje del inductor aguas abajo, que también sube a la misma tasa decreciente.

    De Ecuación\(\ref{eqn:5.6}\), tenemos la equivalencia unitaria\(\mathrm{V}=\mathrm{H} \times \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{s}} \Rightarrow \mathrm{H}=\frac{\mathrm{V}-\mathrm{s} }{\mathrm{A}}\); esta relación para el henry es útil para aclarar unidades en cálculos, como se muestra en el siguiente ejemplo. Una “bobina de voz” particular se utilizará en un actuador de fuerza electromagnética; este es el tipo de bobina de alambre que se encuentra en los altavoces de los sistemas de sonido de consumo. Deseamos identificar experimentalmente para esta bobina los parámetros\(L\) y\(R_L\) (con base en el modelo en serie de Electricidad Ejemplo 5.2.4) midiendo la respuesta escalonada del circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\). Para este circuito en particular, la resistencia de detección tiene\(R\) = 17.5\(\Omega\), y el voltaje de la batería es de 9.00 V. Cerramos el interruptor\(S\), luego registramos la respuesta gráfica del historial de tiempo posterior en la pantalla de un osciloscopio digital, que almacena los datos para su análisis. La gráfica de respuesta (abajo) tiene la apariencia de la Figura 3.4.2, y medimos a partir de ella el tiempo

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    Figura\(\PageIndex{9}\)

    constante\(\tau_{1}=0.0530\) ms y el valor final del voltaje de salida Eo = 7.26 V. De las ecuaciones para\(\tau_{1}\) en Ecuación\(\ref{eqn:5.9a}\) y en Ecuación\(\ref{eqn:5.9b}\), derivamos las siguientes ecuaciones para los parámetros requeridos\(L\) y\(R_L\), y luego los valores calculados subsiguientes:

    \ [\ begin {alineado}
    L &=\ izquierda (R_ {L} +R\ derecha)\ tau_ {1} =\ izquierda (\ frac {R} {E_ {o}} E_ {i}\ derecha)\ tau_ {1}\\
    &=\ frac {E_ {i}} {E_ {o}} R\ tau_ {1} =\ izquierda (\ frac {i}} {E_ {o}} R\ tau_ {1} =\ izquierda (\ frac {i}} {9.00\ mathrm {V}} {7.26\ mathrm {V}}\ derecha)\ izquierda (17.5\ frac {\ mathrm {V}} {\ mathrm {A}}\ derecha)\ izquierda (0.0530\ veces 10^ {-3}\ mathrm {seg}\ derecha) =1.15\ times 10^ {-3}\ frac {\ mathrm {V} -\ mathrm {seg}} {\ mathrm {A}}\ equiv 1.15\ mathrm {mH}
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    \[R_{L}=\frac{R}{E_{o}} E_{i}-R=R\left(\frac{E_{i}}{E_{o}}-1\right)=(17.5 \Omega)\left(\frac{9.00 \mathrm{V}}{7.26 \mathrm{V}}-1\right)=4.19 \Omega \nonumber \]


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