6.1: La Convolución Transformada y su Inversa - la Convolución Integral

Supongamos que tenemos dos funciones físicamente realistas del tiempo,\(f_{1}(t)\) y\(f_{2}(t)\), que son cero para todos los tiempos\(t\) < 0 y no cero solo para\(t \geq 0\). La integral de convolución se define (Meirovitch, 1967, pp. 16-17, 534) como otra función del tiempo en términos de una integral definida que involucra\(f_{1}(t)\) y\(f_{2}(t)\):

\[C I(t) \equiv \int_{r=0}^{t=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau \nonumber \]

En esta integral definida,\(\tau\) se encuentra la variable ficticio de integración, y el tiempo\(t\) aparece tanto en el límite superior de la integral como en el argumento (\(t-\tau\)) del integrando. Podemos expresar la integral de manera diferente haciendo variable el cambio de integración\(\lambda=t-\tau\), de manera que\(\tau=t-\lambda\) y\(d \tau=-d \lambda\), ya que\(t\) se considere como una constante dentro de la integración:

\[\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau=\int_{\lambda=t}^{\lambda=0} f_{1}(t-\lambda) f_{2}(\lambda)(-d \lambda)=\int_{\lambda=0}^{\lambda=t} f_{1}(t-\lambda) f_{2}(\lambda) d \lambda \nonumber \]

La forma final del lado derecho resulta porque el intercambio de los límites de una integral definida cambia su signo. En la integral final del lado derecho,\(\lambda\) está solo la variable ficticio de integración, que bien podría ser\(\tau\), así podemos escribir la integral de convolución en cualquiera de las siguientes formas:

\[C I(t)=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(t-\tau) f_{2}(\tau) d \tau\label{eqn:6.1} \]

La transformación de Laplace\(L[C I(t)]\) se llama la transformación de convolución. Supongamos que la Laplace transforma de funciones\(f_{1}(t)\) y\(f_{2}(t)\) existe:\(F_{1}(s)=L\left[f_{1}(t)\right]\) y\(F_{2}(s)=L\left[f_{2}(t)\right]\). Entonces, como se deriva en el Apéndice A, Sección 18.5, el producto de estas dos transformaciones es igual a la transformada de convolución:

\[F_{1}(s) \times F_{2}(s)=L[C I(t)]=L\left[\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right]=L\left[\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(t-\tau) f_{2}(\tau) d \tau\right]\label{eqn:6.2} \]

De ello se deduce que la transformación inversa del producto es la integral de convolución:

\[L^{-1}\left[F_{1}(s) \times F_{2}(s)\right]=C I(t)=\int_{t=0}^{t=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(t-\tau) f_{2}(\tau) d \tau\label{eqn:6.3} \]

Para los sistemas LTI en general, la ecuación integral de convolución nos\(\ref{eqn:6.3}\) permitirá derivar soluciones de respuesta de tiempo para cualquier función de entrada físicamente realista\(u(t)\).

Es de interés señalar que en MATLAB, la definición más común de convolución es un tipo de multiplicación de dos vectores. Si los vectores son los coeficientes de dos polinomios, entonces la convolución de MATLAB equivale a la multiplicación de los dos polinomios. Consideremos, por ejemplo, el siguiente producto de dos polinomios en s:

\[F_{1}(s) \times F_{2}(s)=\left(2 s^{2}+3 s+5\right) \times(4 s+6)=8 s^{3}+24 s^{2}+38 s+30 \nonumber \]

Las siguientes son las operaciones de MATLAB que ejecutan esta multiplicación, usando el comando conv, y los resultados ¹:

>> F1 = [2 3 5]; F2 = [4 6]; F3=Conv (F1, F2)

F3 = 8 24 38 30

De manera similar, MATLAB define la deconvolución como un tipo de división de dos vectores. Si los vectores son los coeficientes de dos polinomios, entonces la deconvolución equivale a la división de un polinomio por el otro. El comando MATLAB es deconv.

¹ Véase también la descripción al final de la Sección 8.11 de la relación entre la suma de convolución y la multiplicación de polinomios.