6.2: Solución General de la ODE de Primera Oder Estable Estándar e IC por Aplicación de la Integral de Convolución
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De la Ecuación 3.4.8, tenemos para sistemas estables de primer orden:
Resuelve tomando primero la transformación de Laplace,
\[L[\mathrm{ODE}]: \quad s X(s)-x_{0}+\left(1 / \tau_{1}\right) X(s)=b U(s) \nonumber \]
\[\Rightarrow \quad X(s)=\frac{x_{0}}{s+1 / \tau_{1}}+b\left(\frac{1}{s+1 / \tau_{1}}\right) \stackrel{F_{2}(s)}{U(s)} \nonumber \]
Tome la transformación inversa, usando la Ecuación 2.2.6 y la ecuación integral de convolución 6.1.5:
Las ecuaciones\(\ref{eqn:6.5}\) son soluciones generales del problema Ecuación\(\ref{eqn:6.4}\) aplicable para cualquier entrada\(u(t)\) 1. Para ambas formas, el primer término es obviamente la respuesta de condición inicial (IC) y el segundo término es la respuesta forzada. En aplicaciones con\(u(t)\) funciones específicas, la segunda forma de la integral de respuesta forzada en el lado derecho de Ecuaciones\(\ref{eqn:6.5}\) se usa más comúnmente que la primera. La primera forma también es válida, pero la naturaleza funcional de a veces\(u(t-\tau)\) puede ser difícil de interpretar correctamente.
Las integrales de respuesta forzada en Ecuaciones\(\ref{eqn:6.5}\) se denominan integrales de convolución, como en la Ecuación 6.1.3. También se les conoce a veces como integrales de superposición, ya que, como se muestra en la Sección 8.10, pueden derivarse como la superposición lineal de respuestas a entradas diferencialmente pequeñas.
En Ecuaciones\(\ref{eqn:6.5}\), constantes\(\tau_1\) y\(b\) deben expresarse en términos de las constantes físicas del sistema real analizadas, tales como masa\(m\), constante de amortiguación\(c\), etc.
1 Tenga en cuenta, sin embargo, que las ecuaciones de soluciones no\(\ref{eqn:6.5}\) son válidas para una ODE de primer orden no estándar, por ejemplo, una con dinámicas del lado derecho como la Ecuación 5.4.2.