Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

6.2: Solución General de la ODE de Primera Oder Estable Estándar e IC por Aplicación de la Integral de Convolución

  • Page ID
    84620
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    De la Ecuación 3.4.8, tenemos para sistemas estables de primer orden:

    \[\mathrm{ODE}+\mathrm{IC}: \dot{x}+\left(1 / \tau_{1}\right) x=b u(t), \quad x(0)=x_{0}, \quad \text { find } x(t) \text { for } t>0\label{eqn:6.4} \]

    Resuelve tomando primero la transformación de Laplace,

    \[L[\mathrm{ODE}]: \quad s X(s)-x_{0}+\left(1 / \tau_{1}\right) X(s)=b U(s) \nonumber \]

    \[\Rightarrow \quad X(s)=\frac{x_{0}}{s+1 / \tau_{1}}+b\left(\frac{1}{s+1 / \tau_{1}}\right) \stackrel{F_{2}(s)}{U(s)} \nonumber \]

    Tome la transformación inversa, usando la Ecuación 2.2.6 y la ecuación integral de convolución 6.1.5:

    \[x(t)=x_{0} e^{-t / \tau_{1}}+b \int_{\tau=0}^{\tau=t} e^{-t / \tau} u(t-\tau) d \tau=x_{0} e^{-t / \tau_{1}}+b \int_{t=0}^{\tau=t} e^{-(t-\tau) / \tau_{1}} u(\tau) d \tau\label{eqn:6.5} \]

    Las ecuaciones\(\ref{eqn:6.5}\) son soluciones generales del problema Ecuación\(\ref{eqn:6.4}\) aplicable para cualquier entrada\(u(t)\) 1. Para ambas formas, el primer término es obviamente la respuesta de condición inicial (IC) y el segundo término es la respuesta forzada. En aplicaciones con\(u(t)\) funciones específicas, la segunda forma de la integral de respuesta forzada en el lado derecho de Ecuaciones\(\ref{eqn:6.5}\) se usa más comúnmente que la primera. La primera forma también es válida, pero la naturaleza funcional de a veces\(u(t-\tau)\) puede ser difícil de interpretar correctamente.

    Las integrales de respuesta forzada en Ecuaciones\(\ref{eqn:6.5}\) se denominan integrales de convolución, como en la Ecuación 6.1.3. También se les conoce a veces como integrales de superposición, ya que, como se muestra en la Sección 8.10, pueden derivarse como la superposición lineal de respuestas a entradas diferencialmente pequeñas.

    En Ecuaciones\(\ref{eqn:6.5}\), constantes\(\tau_1\) y\(b\) deben expresarse en términos de las constantes físicas del sistema real analizadas, tales como masa\(m\), constante de amortiguación\(c\), etc.

    1 Tenga en cuenta, sin embargo, que las ecuaciones de soluciones no\(\ref{eqn:6.5}\) son válidas para una ODE de primer orden no estándar, por ejemplo, una con dinámicas del lado derecho como la Ecuación 5.4.2.


    This page titled 6.2: Solución General de la ODE de Primera Oder Estable Estándar e IC por Aplicación de la Integral de Convolución is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by William L. Hallauer Jr. (Virginia Tech Libraries' Open Education Initiative) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.