6.4: Solución general del problema estándar de primer orden - una derivación alternativa

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^{Consideremos nuevamente el estándar general problema de primer orden, la Ecuación 1.2.1, en la que\(u(t)\) se encuentra la entrada conocida (excitación),\(x(t)\) es la salida (respuesta) que buscamos,\(a\) y y\(b\) son constantes, con\(a\) no necesariamente negativas:}

\[\dot{x}-a x=b u(t), \text{ with IC } x\left(t_{1}\right) \text{ assumed known, find }x(t) \text{ for } t_{1} \leq t\label{eqn:6.15} \]

(Volvemos a la forma más general ahora, en lugar de nuestro estándar estable ODE ^de 1 er orden, Ecuación 3.4.8 o Ecuación 6.2.1, con el fin de hacer esta derivación más general, aplicable para cualquier valor físicamente realista o polaridad de la constante\(a\).) Este problema es un poco más general de lo que hemos considerado anteriormente, ya que permitimos que el tiempo inicial sea diferente\(t_1\) a cero. Para agilizar la indexación de cantidades de matrices en algoritmos informáticos, utilizamos el subíndice 1, en lugar de 0, para denotar el tiempo inicial y el valor inicial:\(x\left(t_{1}\right) \equiv x_{1}\).

^{Para encontrar una solución general de este problema de primer orden (ODE más IC), utilizamos la función exponencial\(e^{a t}\) y funciones estrechamente relacionadas, para lo cual contamos con las siguientes identidades básicas:}

\[e^{a t} \times e^{-a t_{1}}=e^{a\left(t-t_{1}\right)} \text { and } e^{a t} \times e^{-a t}=e^{0}=1\label{eqn:6.16} \]

Comenzamos la solución general multiplicando la ODE por el factor integrador\(e^{-a t}\), reconociendo que esto hará del lado izquierdo una derivada perfecta:

\[e^{-a t}(\dot{x}-a x=b u) \Rightarrow e^{-a t} \dot{x}-e^{-a t} a x=e^{-a t} b u \Rightarrow \frac{d}{d t}\left(e^{-a t} x\right)=e^{-a t} b u \nonumber \]

Ahora integramos la ecuación multiplicada desde el tiempo inicial\(t_1\) hasta un instante de tiempo arbitrario\(t>t_{1}\), utilizando\(\tau\) como variable de integración:

\[\int_{\tau=t_{1}}^{\tau=t} \frac{d}{d \tau}\left[e^{-a \tau} x(\tau)\right] d \tau=\int_{\tau=t_{1}}^{\tau=t} e^{-a \tau} b u(\tau) d \tau \Rightarrow e^{-a t} x(t)-e^{-a t_{1}} x\left(t_{1}\right)=\int_{\tau=t_{1}}^{\tau=t} e^{-a \tau} b u(\tau) d \tau \nonumber \]

Finalmente, multiplicamos por\(e^{a t}\), aplicamos identidades Ecuación\(\ref{eqn:6.16}\), movemos el término IC hacia el lado derecho, y llegamos a la solución exacta y general:

\[x(t)=e^{a\left(t-t_{1}\right)} x\left(t_{1}\right)+\int_{t=t_{1}}^{\tau=t} e^{a(t-\tau)} b u(\tau) d \tau, t_{1} \leq t\label{eqn:6.17} \]

El término no\(e^{a t}\) necesita estar dentro de la integral, ya que no es una función de la variable de integración\(\tau\). Constante\(b\) tampoco necesita permanecer dentro de la integral. La ecuación de solución\(\ref{eqn:6.17}\) es comparable a, pero más general que, la segunda forma de solución de convolución Ecuación 6.2.4.