7.2: Solución general para la salida de sistemas de segundo orden sin amortiguar

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Resolvamos la Ecuación 7.1.5 para la salida\(x(t)\), dada cualquier entrada físicamente realista\(u(t)\), para tiempo\(t\) > 0, y dadas las condiciones iniciales apropiadas en\(t\) = 0. Utilizamos la transformación de Laplace con la aplicación de la transformada de convolución inversa del Capítulo 6. Para simplificar la notación, denotamos\(X(s) \equiv L[x(t)]\). Transformar la Ecuación 7.1.5 con el uso de la Ecuación 2.2.11 da

\[s^{2} X(s)-s x(0)-\dot{x}(0)+\omega_{n}^{2} X(s)=\omega_{n}^{2} L[u(t)]\label{eqn:7.6} \]

La ecuación nos\(\ref{eqn:7.6}\) dice que necesitamos dos condiciones iniciales, una en la salida y otra en la derivada de la salida, para esta ODE ^{de segundo} orden. En consecuencia, simplificamos la escritura con las definiciones

\[\text{ICs for }2^{\text {nd }}\text{ order ODE: }x_{0} \equiv x(0),\text{ initial "position"; }\dot{x}_{0} \equiv \dot{x}(0),\text{ initial "velocity"}\label{eqn:7.7} \]

Resolviendo Ecuación\(\ref{eqn:7.6}\) para\(X(s)\) con el uso de la notación La ecuación\(\ref{eqn:7.7}\) da

\[X(s)=x_{0} \frac{s}{s^{2}+\omega_{n}^{2}}+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}} \frac{\omega_{n}}{s^{2}+\omega_{n}^{2}}+\omega_{n} \overbrace{\frac{\omega_{n}}{s^{2}+\omega_{n}^{2}}}^{F_{1}(s)} \overbrace{L[u(t)]}^{F_{2}(s)}\label{eqn:7.8} \]

Invertimos la Ecuación\(\ref{eqn:7.8}\) usando las transformaciones Ecuación 2.4.7 y Ecuación 2.4.8, y la transformada de convolución inversa Ecuación 6.1.5, para encontrar las dos ecuaciones de solución general equivalentes para la ODE de ^segundo orden no amortiguada estándar, Ecuación 7.1.5, con CI\(x(0) \equiv x_{0}\) y\(\dot{x}(0) \equiv \dot{x}_{0}\):

\[x(t)=\overbrace{x_{0} \cos \omega_{n} t+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}} \sin \omega_{n} t}^{\text{IC response}}+\overbrace{\omega_{n} \int_{\tau=0}^{\tau=t} \sin \omega_{n} \tau \times u(t-\tau) d \tau}^{\text{forced response}}\label{eqn:7.9a} \]

\[x(t)=\overbrace{x_{0} \cos \omega_{n} t+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}} \sin \omega_{n} t}^{\text{IC response}} + \overbrace{\omega_{n} \int_{\tau=0}^{\tau=t} \sin \omega_{n}(t-\tau) \times u(\tau) d \tau}^{\text {forced response}}\label{eqn:7.9b} \]