7.4: Discusión sobre la aplicabilidad física de soluciones de respuesta escalonada

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El concepto de respuesta escalonada en aplicaciones físicas puede ser molesto si uno alberga la idea errónea de que la respuesta de paso es válida solo si la entrada se aplica de manera abrupta y discontinua, como en el dibujo de la izquierda. Este concepto erróneo es natural y honesto debido a la definición matemática de la función de paso, Ecuación 2.4.1 y Figura 2.4.1. Si aplicamos esa definición estricta a la entrada de paso analizada en la Sección 7.3, sin ningún reconocimiento de la naturaleza de las condiciones iniciales, entonces el historial de tiempo de la entrada tendría que ser una función de paso discontinuo.

Sin embargo, es instructivo considerar también el papel de las condiciones iniciales en la respuesta escalonada. Solución de respuesta escalonada La ecuación 7.3.8 se deriva para cero CI,\(x_{0}=0\) y\(\dot{x}_{0}=0\). Imagínese que algún poderoso agente externo hace cumplir estos CI por tiempo\(t\) < 0, luego en\(t\) = 0, el agente externo libera abruptamente su retención sobre el sistema. Bajo esta circunstancia, no importa si la entrada\(u(t)\) salta discontinuamente de 0 a\(U\) at\(t\) = 0, como en el dibujo anterior, o la entrada tiene valor\(U\) tanto después como antes\(t\) = 0, como en el dibujo de la izquierda. Un valor de entrada de\(U\) antes\(t\) = 0 no podía producir ningún efecto sobre la salida\(x(t)\), ya que no podía sobrealimentar al agente externo que aplica las condiciones iniciales antes y hasta el instante\(t\) = 0. Un ejemplo práctico con el que podemos relacionarnos es un avión sentado en una pista, preparándose para el taxi para el despegue. Con los frenos firmemente enganchados, el piloto aumenta el empuje del motor, pero el avión se mantiene inmóvil por los frenos. En este ejemplo, los frenos desempeñan el papel de “potente agente externo” que refuerza la posición inicial y la velocidad inicial cero, y el empuje del motor juega el papel de cantidad de entrada. Después de que el empuje del motor haya alcanzado un nivel aceptable de despegue, el piloto libera los frenos (at\(t\) = 0), y el avión acelera hacia el taxi de despegue. El empuje del motor existe antes\(t\) = 0, pero no produce movimiento de rodaje entonces porque los frenos restringen completamente al avión.

La conclusión de esta discusión es que la respuesta escalonada es una solución física válida aunque la entrada sea constante antes y después del inicio del movimiento (es decir, no se aplica estrictamente como una función escalonada matemática), siempre que las condiciones iniciales hagan cumplir el movimiento anterior al instante ( usualmente\(t\) = 0) cuando la entrada se hace efectiva.