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7.7: Capítulo 7 Tarea

  • Page ID
    84667
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    1. Se sabe que un dispositivo particular es un sistema de masa-resorte LTI que tiene una amortiguación insignificante. Se requiere que la constante de rigidez\(k\) y la masa\(m\) se identifiquen experimentalmente. Primero, se aplica una fuerza estática de 100 N a través de una cuerda atada a la masa, produciendo una traslación estática de la masa. A continuación, la cuerda se corta limpiamente, permitiendo que el sistema vibre libremente desde la traslación estática inicial (con velocidad inicial cero). El movimiento posterior se mide mediante un acelerómetro, un sensor que se une a la masa del sistema y mide, por supuesto, la aceleración traslacional de la masa. La aceleración medida se describe con buena precisión por la ecuación\[a(t) \equiv \ddot{x}(t)=-4.93 \cos (10 \pi t) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{sec}^{2}}, \text { for } 0<t, \text { with } t \text { in seconds } \nonumber \]
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      Figura\(\PageIndex{1}\)
      1. Diferenciar dos veces Ecuación 7.3.4 para desplazamiento,\(x(t)=x_{\max } \cos \left(\omega_{n} t+\phi\right)\): primero, para derivar la ecuación asociada para velocidad,\(v(t)=\dot{x}(t)\) y segundo, para derivar la ecuación asociada para aceleración,\(a(t)=\dot{v}(t)=\ddot{x}(t)\).
      2. A partir de los datos experimentales dados previamente y sus resultados en la parte 7.1.1, inferir valores (con unidades) para la constante de rigidez\(k\) y masa\(m\).
    2. Consideremos nuevamente el conjunto de rueda de reacción introducido en la Sección 3.3 (Figura 3.3.1), pero ahora supongamos que existe un resorte rotacional con rigidez constante que\(k_{\theta}\) conecta el eje a una pared rígida. Además, solo para este problema, supongamos que el par de amortiguación viscoso del rodamiento es insignificante.
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      Figura\(\PageIndex{2}\)
      1. Esboce un FBD rotacional (similar al de la Sección 3.3, pero con las diferencias apropiadas), luego aplique la segunda ley de Newton para la rotación para derivar la ODE de segundo orden para la rotación de la rueda\(\theta(t)\). Esta ODE debe tener la forma de la Ecuación 7.1.2, pero con la notación apropiada para este sistema.
      2. Convertir la ODE de la parte 7.2.1 en la forma estándar Ecuación 7.1.5,\(\ddot{\theta}+\omega_{n}^{2} \theta=\omega_{n}^{2} u(t)\). Escriba ecuaciones específicas (en términos de los parámetros y notación de este sistema) para la frecuencia natural\(\omega_{n}\) y la cantidad de entrada\(u(t)\).
      3. El motor eléctrico de par que acciona el rotor genera 4.00 ozinch de par por amperio de corriente eléctrica (1 lb = 16 oz). Según el fabricante del motor, la corriente debe limitarse a 5.00 A o menos para evitar tostar el motor, por lo que el par máximo del motor es de 20.0 ozinch. Supongamos que este par máximo se aplica al rotor como una función de paso. Se requiere que el ángulo\(\theta(t)\) de rotación posterior del rotor no exceda de 45°. Calcule la constante de rigidez mínima\(k_{\theta}\) (unidades de lb-pulgada/rad) que limitará la respuesta escalonada\(\theta(t)\) a 45° o menos. También, calcular la frecuencia natural en Hz del sistema con este valor de\(k_{\theta}\). El rotor tiene inercia rotacional\(J\) = 2.56e−3 lb-s 2 -inch.
    3. En el laboratorio de pruebas de un fabricante de naves espaciales, una plataforma de aislamiento de vibraciones se apoya sobre una base flexible para que la vibración inducida por el tráfico en una autopista cercana ocupada no perturbe las pruebas funcionales de componentes delicados calificados para el espacio. La plataforma pesa 907 kg f, y la base flexible tiene rigidez nominal constante\(k\) = 3,440 kN/m.
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      Figura\(\PageIndex{3}\)
      1. Calcular los valores predichos de frecuencia natural del sistema en rad/s y Hz, y periodo natural del sistema\(T_{n}\). Recordemos de la Sección 3.2 que el kg f no es una unidad consistente en el sistema SI. (respuesta parcial:\(\omega_{n}\) = 61.6 rad/s)
      2. En una prueba para determinar con precisión las características dinámicas de este sistema masa-resorte (con amortiguación insignificante), se le dará a la plataforma un desplazamiento inicial hacia abajo\(y(0)\) = −0.104 mm (relativo a la posición de equilibrio estático) y una velocidad inicial hacia arriba\(\dot{y}(0)\) = +7.20 mm/s. entonces se permitirá que vibre libremente. Escriba la ecuación algebraica numérica para la respuesta predicha\(y(t)\) en mm.
    4. Considera el movimiento rodante de un globo portando una canasta, con el vehículo ni ascendiendo ni descendiendo 1. El peso\(W\) del vehículo actúa hacia abajo a través del centro de gravedad del vehículo\(G\), y la fuerza de flotación\(W\) actúa hacia arriba a través del centro de flotabilidad\(M\), que es el centro de gravedad del volumen de aire desplazado por el vehículo. Denotamos como\(R\) la separación de\(G\) y\(M\) en el plano de simetría del vehículo. Tenga en cuenta que con\(M\) lo anterior\(G\), el peso y la flotabilidad forman un momento de pareja estabilizadora, siendo el momento brazo\(R \sin \theta\). Supongamos que el viento, las ráfagas, y posiblemente otras formas de perturbación y control ejercen un momento rodante aplicado externamente alrededor\(G\), que se denota como\(M_{r}(t)\). Denote la inercia rotacional del vehículo aproximadamente\(G\) como\(J_{G}\). Supongamos que el vehículo rueda alrededor del punto\(G\), como si hubiera una bisagra sin fricción en\(G\), y descuidar todas las fuentes de amortiguación.
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      Figura\(\PageIndex{4}\)
      1. Aplica la ley de Newton para la rotación para derivar la ODE linealizada de orden para el ángulo de balanceo\(\theta(t)\), que se supone que es suficientemente pequeña que\(\sin \theta \approx \theta\) radianes. Esta ODE debe tener la forma de la Ecuación 7.1.2, pero con la notación apropiada para este sistema.
      2. Convertir la ODE de la parte 7.4.1 en la forma estándar Ecuación 7.1.5,\(\ddot{\theta}+\omega_{n}^{2} \theta=\omega_{n}^{2} u(t)\). Escriba ecuaciones específicas (en términos de los parámetros y notación de este sistema) para la frecuencia natural rodante\(\omega_{n}\) y la variable de entrada estándar\(u(t)\). (respuesta parcial:\(\omega_{n}=\sqrt{W R / J_{G}}\))
    5. (Adaptado de Craig, 1981, Problema 5.1 en la página 120) En los aviones de aviación general monomotor, de ala alta, las estructuras de los trenes de aterrizaje principales suelen ser simples vigas voladizas inclinadas, como se ilustra en el dibujo a la derecha. Cuando este tipo de avión aterriza en un rellano, las vigas, en combinación con las llantas flexibles, constituyen un resorte estructural que amortigua el impacto del aterrizaje.
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      Figura\(\PageIndex{5}\)

      Los dibujos a continuación muestran un modelo simplificado utilizado para estudiar el impacto de aterrizaje de un avión ligero,\(m\) siendo la masa la de la carrocería del avión, y\(k\) siendo la rigidez la de las vigas del tren de aterrizaje y las llantas. (El modelo también representa a una persona que rebota pasivamente en un palo de pogo.) La velocidad de hundimiento del avión justo antes del touchdown se denota como\(V\), y\(g\) es la aceleración de la gravedad. Llamemos al instante del contacto de los neumáticos\(t = 0\) y midamos el movimiento vertical descendente del avión en\(y(t)\) relación con su posición en ese instante, como se indica en el dibujo de la derecha. De ahí que las condiciones iniciales sean\(y(0)= 0\) y\(\dot{y}(0)=V\).

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      Figura\(\PageIndex{6}\)
      1. Esboce un FBD de las fuerzas que actúan\(m\) durante el tiempo de contacto de la llanta con el suelo, y use ese FBD y la segunda ley de Newton para escribir la ODE de movimiento de segundo orden para\(y(t)\). Tenga en cuenta en este caso que medimos el movimiento relativo a la posición de resorte no deformado, no relativo a la posición de equilibrio estático, por lo que es necesario incluir el peso corporal\(W = mg\) en el FBD.
      2. Pon la ODE de movimiento en forma estándar. Ahora combine tanto la solución IC (since\(\dot{y}(0)=V>0\)) como la solución de respuesta escalonada (ya que\(W\) es esencialmente una entrada de paso) que se derivan en la Sección 7.3 para escribir la ecuación algebraica para la respuesta\(y(t)\) durante el tiempo de contacto del neumático. Expresa esta ecuación en la forma\(y(t)=C_{1}+C_{2} \sin \left(\omega_{n} t-C_{3}\right)\), donde las\(C_i\) y\(\omega_{n}\) son constantes positivas que debes definir en términos de los parámetros algebraicos dados. Debe encontrar útil la identidad trigonométrica\(\sin A \cos B \pm \cos A \sin B=\sin (A \pm B)\). Si es necesario, revisar el procedimiento en la Sección 4.3, Ecuaciones 4.3.2, 4.3.4 y 4.3.5, para combinar senos y cosenos.
      3. Utilice el resultado correcto de la parte 7.5.2 anterior para esbozar un historial de tiempo de la respuesta\(y(t)\) durante el tiempo de contacto con la llanta. Para que sea relativamente fácil de bosquejar, supongamos que el aterrizaje es duro, con\(V / \omega_{n}=\sqrt{3} W / k\), y demuéstralo\(y(t)=(W / k)\left[1+2 \sin \left(\omega_{n} t-30^{\circ}\right)\right]\). A partir de su\(y(t)\) ecuación y boceto, inferir ecuaciones algebraicas generales (no aplicables solo para\(V / \omega_{n}=\sqrt{3} W / k\)) para el valor máximo\(y_{\max }\), el momento en el que\(y(t)=y_{\max }\) y el momento en que las llantas pierden contacto con el suelo al rebotar. ¿Para qué rango de velocidades\(V\) de impacto de aterrizaje predice esta teoría que las llantas perderán contacto con el suelo al rebotar? ¿Esta teoría es completamente realista?
    6. El circuito LC ideal 2 dibujado a continuación es una combinación en serie de una fuente de voltaje\(e_{i}(t)\), un inductor ideal (que tiene solo inductancia\(L\), sin resistencia) y un condensador con capacitancia\(C\). Recordemos que la corriente es la tasa de cambio de carga\(q(t)\) en el condensador,\(i=d q / d t\). Aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff, como en el Ejemplo de Electricidad 5.2.4 de la Sección 5.2, y mostrar que la ODE para\(q(t)\) es\(L \ddot{q}+(1 / C) q=e_{i}(t)\). Convierta esta ODE en la forma estándar de segundo orden Ecuación 7.1.5,\(\ddot{q}+\omega_{n}^{2} q=\omega_{n}^{2} u(t)\); escriba ecuaciones específicas [en términos de\(L\)\(C\), y\(e_{i}(t)\)] para frecuencia natural\(\omega_{n}\) y cantidad de entrada\(u(t)\).
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      Figura\(\PageIndex{7}\)
    7. El circuito 3 dibujado a la derecha consta de tres etapas, cada una construida alrededor de un amplificador operacional, y hay retroalimentación de voltaje\(e_{f}(t)\) desde la última etapa (derecha) hasta la primera etapa (izquierda), donde\(e_{i}(t)\) se aplica el voltaje de entrada. El voltaje de salida del circuito\(e_{o}(t)\),, es la salida de la etapa media. Para la primera etapa, un integrador sumador e inversor, utilice los métodos del Capítulo 5 para derivar la primera ODE,\(e_{f} / R_{1 f}+e_{i} / R_{1 i}=-C_{1} \dot{e}_{m}\). A continuación, para la etapa media, un integrador inversor, derivar la segunda ODE,\(e_{m} / R_{2}=-C_{2} \dot{e}_{o}\) (tarea Problema 5.6). Ahora diferenciar la segunda ODE y utilizar el resultado para sustituir\(\dot{e}_{m}\) en la primera ODE. La última etapa es un simple inversor de signo, para lo cual\(e_{f}=-e_{o}\) a partir de la Ecuación 5.3.5. Sustituya\(e_{f}\) y muestre que la ODE que relaciona el voltaje de\(e_{o}(t)\) salida con el voltaje de entrada\(e_{i}(t)\) para todo el circuito es\(\ddot{e}_{o}+\frac{1}{R_{2} C_{2} R_{1 f} C_{1}} e_{o}=\frac{1}{R_{2} C_{2} R_{1 f} C_{1}} \frac{R_{1 f}}{R_{1 i}} e_{i}\). Convierta esta ODE en la forma estándar de segundo orden Ecuación 7.1.5,\(\ddot{e}_{o}+\omega_{n}^{2} e_{o}=\omega_{n}^{2} u(t)\); escriba ecuaciones específicas (en términos de las resistencias, capacitancias y voltaje de entrada de este circuito) para frecuencia natural\(\omega_{n}\) y cantidad de entrada\(u(t)\).
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      Figura\(\PageIndex{8}\)
    8. Si compara los resultados experimentales para un haz que se presentan en Ejemplo Problema 7.6.1 con los resultados teóricos ideales presentados en Ejemplo Problema 7.6.2, observará que existen algunas diferencias significativas entre los dos conjuntos de resultados. En este problema, investigarás algunas razones de esas diferencias.
      1. La viga de la Figura 7.6.1 es un aluminio extruido “plano”. Debido a las imperfecciones de fabricación, su sección transversal no es completamente uniforme (constante) a lo largo; sin embargo, los estudiantes realizaron las siguientes medidas cuidadosas de las dimensiones de la sección transversal promedio: ancho\(b\) = 2.00 pulgadas, profundidad\(h\) = 0.120 pulgadas. Los estudiantes también midieron el peso promedio por unidad de longitud de 0.0230 lb/pulgada. Con esta información, calcule la densidad de peso promedio “real”\(w\) en lb/pulgada 3, y compare su valor con el valor estándar (en cálculos de diseño preliminar) para aluminio, 0.1000 lb/inch3, que se utiliza en Ejemplo Problema 7.6.2. Además, calcule el peso total de la viga,\(W_b\) en lb, con base en la densidad de peso longitudinal 0.0230 lb/pulgada, y asumiendo\(L\) = 10.00 pulgadas.
      2. En una serie de pruebas independientes sobre planchas de aluminio del mismo lote fabricado que la viga de la Figura 7.6.1, los estudiantes midieron el módulo promedio de elasticidad en flexión\(E\) = 9.43e+6 lb/pulgada 2, que es aproximadamente 6% inferior al valor estándar (en cálculos de diseño preliminar) de 10.0e+ 6 lb/pulgada 2. Utilice este valor medido, junto con las dimensiones medidas de la parte 7.8.1 para calcular la constante efectiva de rigidez viga-punta\(k_{E}=\), asumiendo que la longitud del voladizo de la viga es precisamente\(L\) = 10.00 pulgadas. Además, compare este valor calculado de con el valor medido de 7.86 lb/pulgada del Ejemplo Problema 7.1 y con el valor teórico ideal de 9.766 lb/pulgada del Problema Ejemplo 7.6.2. 4 10 [NOTA: Se puede demostrar, mediante la evaluación de la propagación del error 5, que un pequeño error en el valor de profundidad\(h\) produce tres veces ese error en la constante de rigidez calculada\(k_{E}\) (por ejemplo, un error de 2% en\(h\) produce un 6 % de error en\(k_{E}\)); de manera similar, un pequeño error en el valor de longitud\(L\) produce tres veces ese error en\(k_{E}\).]
      3. Utilice el peso\(W_{b}\) que calculó en la parte 7.8.1 para calcular la masa efectiva de la punta de la viga desnuda sola a partir de\(m_{b E}=0.242\ 672 \times W_{b} / g\), en la que 0.242 762 es el factor teórico introducido en Ejemplo Problema 7.6.2. A continuación, calcule la masa efectiva total de la punta, incluida la masa del blanco de acero que está unido a la punta de la viga en la Figura 7.6.1, a partir de\(m_{E}=m_{b E}+(0.0081 \mathrm{lb}) \div\left(386.1 \mathrm{inch} / \mathrm{s}^{2}\right)\). Por último, use esto\(m_{E}\) y el\(k_{E}\) que calculó en la parte 7.8.2 para determinar una estimación corregida (relativa a la del Ejemplo Problema 7.6.2) para la frecuencia natural\(f_{n}\) en Hz.
    9. Para el sistema de masa-resorte sin amortiguar (o ligeramente amortiguado) dibujado abajo a la izquierda, la Ecuación 7.1.3 da la frecuencia natural como\(\omega_{n}=\sqrt{k / m}\). Si adjuntamos una masa adicional\(m_{a}\) a la masa original, como se dibuja abajo a la derecha, entonces la frecuencia natural del sistema modificado es\(\omega_{a n} \equiv \sqrt{k /\left(m+m_{a}\right)}\).
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      Figura\(\PageIndex{9}\)
      1. Supongamos que los parámetros\(m\) y\(k\) del sistema original son desconocidos, pero que conocemos el valor de la masa agregada\(m_{a}\), y que somos capaces de medir experimentalmente las frecuencias naturales\(\omega_{n}\) y\(\omega_{a n}\). Derivar algebraicamente la siguiente ecuación para la masa desconocida\(m: \quad m=\frac{m_{a}}{\left(\omega_{n} / \omega_{a n}\right)^{2}-1}\). El método tradicional descrito aquí puede denominarse método de masa agregada o de inercia agregada. 6
      2. Aplicar el método de masa añadida de la parte 7.9.1 para calcular tanto la cantidad\(m_E\) efectiva de masa de punta de segundo orden como la constante de rigidez de punta efectiva de segundo orden\(k_{E}\) del sistema estructural de viga mostrado en la Figura 7.6.1. Los datos que necesitará se indican en Problemas de ejemplo 7.6.1 y 7.6.3: la frecuencia natural medida del sistema original es\(f_{n}\) = 34.0 Hz; el ensamblaje de masa concentrada que se agregó a la punta de la viga (Figura 7.6.5) pesa 0.254 lb; y la frecuencia natural medida del sistema de masa agregada es \(f_{a n}\)= 15.85 Hz.
    10. En el dibujo se muestra un sistema estructural de parámetros distribuidos 7; la “instantánea” de un estado de deformación dinámica (con magnitud exagerada) se dibuja en líneas discontinuas. Este sistema consiste en un bloque de masa esencialmente rígido\(m\) y dos vigas en voladizo paralelas. Las dos vigas flexibles (en flexión) son nominalmente uniformes e idénticas entre sí, con sección transversal rectangular de ancho\(b\)\(h\), profundidad y área de sección transversal\(A=b h\). Las vigas están incrustadas en la masa, del mismo modo que están incrustadas en la base de abajo. La rotación de masa en el plano\(m\) se suprime por la muy alta rigidez axial de las vigas y la separación de las dos vigas. Las pendientes de flexión de las vigas donde unen la masa\(m\) son esencialmente cero debido a la rigidez de la masa\(m\) y de las juntas viga a masa. Siempre que el forzamiento [como\(f_{x}(t)\) en el dibujo] y/o las condiciones iniciales estén en el plano del papel, el movimiento de la masa se restringe a la traslación unidimensional,\(x(t)\). Debe poder verificar a partir de un libro de texto sobre mecánica de materiales que la constante de rigidez efectiva total de las dos vigas que restringen el movimiento de la masa\(m\) es\(k_{E} \equiv\left(f_{x} / x\right)_{\text {static}}=2 \times 12 E I / L^{3}\). Podemos explicar la contribución de la masa de las vigas a la dinámica de orden aproximadamente de segundo orden de este sistema utilizando lo que se conoce en teoría más avanzada como la masa consistente de una estructura de parámetros distribuidos. Denotamos el peso por unidad de volumen del material de la viga como\(w\) y la masa como densidad\(\rho \equiv w / g\). Entonces la masa consistente total de las dos vigas, que efectivamente se mueve con la masa\(m\) a través de la traslación\(x(t)\), es\(2 m_{c}=2 \times(156 / 420) \rho A L\) (Craig, 1981, página 387); así, la masa efectiva total del sistema estructural es\(m_{E}=m+2 m_{c}\).
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      Figura\(\PageIndex{10}\)
      1. Escribir una ecuación algebraica para la frecuencia natural\(\omega_{n}\) en rad/s de este sistema estructural en términos de los parámetros del sistema\(E\)\(I\),\(L\),\(m\),\(w\),\(A\), y\(g\).
      2. Considerar una versión fabricada real de este sistema estructural, que se muestra en la fotografía, que se utiliza en un experimento de laboratorio instruccional 8. Las vigas son “planas” de aluminio extruido, a partir de las cuales los alumnos realizaron las siguientes medidas cuidadosas de dimensiones y propiedades promedio:\(L\)\(b\) = 12.00 pulgadas,\(h\) = 2.010 pulgadas, = 0.1259 pulgadas;\(w\) = 0.0965 lb/pulgada 3;\(E\) = 9.40e+6 lb/pulgada 2. La masa relativamente rígida\(m\) fue mecanizada a partir de un bloque de aluminio; los estudiantes midieron su peso como 1.61 lb. Calcular la frecuencia natural\(f_{n}\) en Hz de este aparato de laboratorio.
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        Figura\(\PageIndex{11}\)

    1 Se aplican los mismos principios básicos de dinámica y estática fluida si el vehículo es un submarino sumergido.

    2 El\(LC\) circuito es un modelo simplificado para dispositivos como antenas y resonadores de cavidad que transmiten y reciben energía electromagnética (Halliday y Resnick, 1960, Capítulos 38 y 39). Además, las cascadas de\(LC\) pares se utilizan a menudo como filtros pasivos en aplicaciones de radiofrecuencia, 100 kHz y superiores (Horowitz y Hill, 1980, páginas 654-656).

    3 Este circuito con amplificadores operacionales, condensadores y resistencias es esencialmente la computadora analógica electrónica (vea la nota al pie de página del Problema 5.6) para resolver ODE 7.1.5.

    4 Ejemplo Problema 7.6.3 describe cómo los pequeños espacios entre las gruesas placas de sujeción de acero y las superficies de la viga de aluminio podrían cambiar la longitud efectiva de la viga\(L\). Vale la pena observar también que otra posible fuente de error de rigidez, que es difícil de evaluar cuantitativamente, es cierta flexibilidad significativa en las placas de sujeción de acero. La ecuación teórica para la rigidez de la punta del haz se basa en la suposición de que el medio de sujeción es completamente rígido.

    5 La propagación del error se discute en los libros de texto sobre instrumentación experimental y mediciones, por ejemplo, Dally, Riley y McConnell, 1984, páginas 544-545.

    6 El método de masa añadida es una técnica elegantemente simple para encontrar experimentalmente los parámetros desconocidos de un sistema mecánico lineal de segundo orden, o aproximadamente 2º orden. El método solo requiere que podamos medir con precisión las frecuencias de vibración libre; de lo contrario, los sensores de movimiento y otra instrumentación pueden ser descalibrados. El uso del método de masa agregada es un ejemplo sencillo de identificación del sistema, el cual se discute con mayor profundidad en la Sección 9.9.

    7 Esta estructura es una forma rudimentaria de construcción de cizalla de un piso que se utiliza para estudiar la dinámica estructural de los edificios (Craig, 1981, páginas 42, 265, 346, etc.; Clough y Penzien, 1974, páginas 226-227). La masa rígida representa una losa de suelo/viga, y las vigas flexibles representan columnas estructurales.

    8 El plano principal del aparato de laboratorio real es horizontal con relación a la gravedad. La fotografía se gira 90° para que el plano aparezca vertical, con el fin de que coincida con el dibujo de la página anterior.


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