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8.5: Respuesta de Impulso Ideal de un Sistema de Primer Orden Estable Estándar

  • Page ID
    84501
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    A partir de la Ecuación 3.4.8, la declaración del problema para un sistema de primer orden estable estándar es

    \[\mathrm{ODE}+\mathrm{IC}: \quad \dot{x}+\left(1 / \tau_{1}\right) x=b u(t), \quad x(0)=x_{0}, \quad \text { find } x(t) \text { for } t>0\label{eqn:6.4} \]

    Deje que la función de entrada sea el impulso ideal,\(u(t)=I_{U} \delta(t)\). Si bien existen varios métodos para encontrar respuesta a un impulso ideal, el enfoque convencional de transformación Laplace es relativamente simple y probablemente el más instructivo, por lo que usaremos este método. Con\(L[\delta(t)]=1\) la ecuación 8.4.6, los pasos de la solución son:

    \[L[\mathrm{ODE}]: \quad s X(s)-x_{0}+\left(1 / \tau_{1}\right) X(s)=b U(s)=b I_{U} \times 1 \nonumber \]

    \[\Rightarrow \quad X(s)=\frac{x_{0}+b I_{U}}{s+1 / \tau_{1}}\label{eqn:8.14} \]

    \[\Rightarrow \quad x(t)=\left(x_{0}+b I_{U}\right) e^{-t / \tau}\label{eqn:8.15} \]

    Como comprobación, evaluamos la solución en\(t\) = 0:

    \[x(0)=\left(x_{0}+b I_{U}\right) e^{-0 / \tau_{1}}=x_{0}+b I_{U} \neq x_{0}\label{eqn:8.16} \]

    Parece que algo está mal con la solución de respuesta Ecuación\(\ref{eqn:8.15}\), porque Ecuación\(\ref{eqn:8.16}\) para\(x(0)\) contradice el CI original,\(x(0)=x_{0}\). Para explicar esta discrepancia, debemos dar cuenta cuidadosamente de la naturaleza de la respuesta a un impulso ideal, y de la distinción entre los tres instantes de referencia diferentes que se definen en el apartado anterior:

    1. \(t=0^{-}\), el instante justo antes de la actividad de la función impulsiva ideal;
    2. \(t=0\), el instante en que\(\delta(t-0)\) actúa; y
    3. \(t=0^{+}\), el instante justo después de la actividad de la función impulsiva ideal.

    Sigue el análisis más detallado.

    Comenzamos integrando la ODE básica,\(\dot{x}+\left(1 / \tau_{1}\right) x=b I_{U} \delta(t)\), a través de la función de impulso ideal, solo de\(t=0^-\) a\(t=0^+\):

    \[\int_{\tau=0^{-}}^{\tau=0^{+}} \frac{d x}{d \tau} d \tau+\frac{1}{\tau_{1}} \int_{\tau=0^{-}}^{\tau=0^{+}} x d \tau=b \int_{\tau=0^{-}}^{\tau=0^{+}} I_{U} \delta(\tau-0) d \tau\label{eqn:8.17} \]

    El término fi del lado izquierdo de Ecuación\(\ref{eqn:8.17}\) es idéntico a\(x\left(0^{+}\right)-x\left(0^{-}\right)\); este resultado introduce la nueva cantidad\(x\left(0^{+}\right)\), que aparentemente es el valor inicial post-impulso en\(t=0^{+}\); el valor inicial pre-impulso,\(x\left(0^{-}\right) \equiv x_{0}\), es el IC original especificado en Ecuación\(\ref{eqn:6.4}\), pero ahora se entiende que existe en\(t=0^{-}\). La integral del lado derecho de la ecuación\(\ref{eqn:8.17}\) da el área finita\(I_{U}\) bajo la función de impulso ideal infinita. En contraste, el segundo término del lado izquierdo de Ecuación\(\ref{eqn:8.17}\) tiene un integrando finito; podemos usar la regla trapezoidal para aproximar el valor de la integral y encontrar que es cero:

    \[\int_{\tau=0^{-}}^{\tau=0^{+}} x d \tau \approx \lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left\{\frac{1}{2}\left[x\left(0^{+}\right)+x\left(0^{-}\right)\right] \Delta t\right\}=0\label{eqn:8.18} \]

    En Ecuación\(\ref{eqn:8.18}\)\(\Delta t \equiv 0^{+}-0^{-} \rightarrow 0\),, en el espíritu de la idealización que la función de impulso ideal actúa sobre un intervalo de tiempo infinitesimal. Por lo tanto, la ecuación\(\ref{eqn:8.17}\) da\(x\left(0^{+}\right)-x_{0}+1 / \tau_{1} \times 0=b \times I_{U}\), o

    \[x\left(0^{+}\right)=x_{0}+b I_{U}\label{eqn:8.19} \]

    Comparando Ecuaciones\(\ref{eqn:8.16}\) y\(\ref{eqn:8.19}\) muestra que el término\(x(0)\) en la ecuación anterior realmente debería ser el valor inicial post -impulso,\(x\left(0^{+}\right)\).

    La ecuación también se\(\ref{eqn:8.19}\) puede encontrar directamente a partir de la transformada de Laplace\(X(s)\) mediante la aplicación del teorema del valor inicial:

    \[\lim _{t \rightarrow 0^{+} \text {from } t>0} f(t) \equiv f\left(0^{+}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty}[s F(s)]\label{eqn:8.20} \]

    Aquí se presenta únicamente la aplicación relevante del teorema del valor inicial; la derivación del teorema mismo se pospone a la Sección 8.6. Aplicando ecuación\(\ref{eqn:8.20}\) a la solución de transformación de Laplace La ecuación\(\ref{eqn:8.14}\) da

    \[x\left(0^{+}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty}[s X(s)]=\lim _{s \rightarrow \infty}\left(s \times \frac{x_{0}+b I_{U}}{s+1 / \tau_{1}}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty}\left(\frac{s}{s} \times\left(x_{0}+b I_{U}\right)\right)=x_{0}+b I_{U} \nonumber \]

    Esta consecuencia del teorema del valor inicial es idéntica a la Ecuación\(\ref{eqn:8.19}\), la cual se derivó por un método diferente.

    Finalmente, presentamos una aplicación de Ecuación\(\ref{eqn:8.19}\) a un sistema mecánico, y mostramos que los resultados concuerdan con un principio de mecánica. Considere un sistema amortiguador de masa con constante de amortiguación de masa\(m\) y viscoso\(c\), tal como se dibuja a la derecha. La masa es inicialmente, moviéndose con velocidad\(v\left(0^{-}\right)=v_{0}\) cuando, a\(t=0^-\), la masa es perturbada por un impulso de fuerza ideal,\(f_{x}(t)=I_{F} \delta(t)\). La ecuación de movimiento es\(m \dot{v}+c v=f_{x}(t)\), o en términos de un sistema estándar estable de primer orden,\(\dot{v}+\left(1 / \tau_{1}\right) v=b u(t)\), en el cual\(\tau_{1}=m / c\),\(b=1 / m\), y\(u(t)=f_{x}(t)=I_{F} \delta(t)\), así que eso\(I_{U}=I_{F}\). El impulso inicial (pre-impulso) de la masa es\(m v_{0}\). Según la Ecuación\(\ref{eqn:8.19}\), la velocidad post-impulso de la masa es\(v\left(0^{+}\right)=v_{0}+(1 / m) \times I_{F}=v_{0}+I_{F} / m\), de manera que el momento post-impulso de la masa es\(m v\left(0^{+}\right)=m v_{0}+I_{F}\). En palabras, el impulso de la masa se incrementa exactamente por la magnitud del impulso ideal, de acuerdo con el teorema impulso-impulso, Ecuación 8.2.2. \(I_{F} \delta(t)\)El impulso de fuerza es un impulso matemáticamente ideal, no una excitación físicamente realizable, por lo que el cambio matemático en el momento ocurre instantáneamente, y el amortiguador viscoso no influye en esta respuesta instantánea. De la Ecuación\(\ref{eqn:8.15}\), la respuesta post-impulso de la masa es\(v(t)=\left(v_{0}+I_{F} / m\right) e^{-t / \tau_{1}}\),\(t>0\).


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