8.6: Derivación del Teorema del Valor Inicial

Considera una función física\(f(t)\), con derivada\(d f / d t\), y con transformada de Laplace\(L[f(t)]=F(s)\). El teorema del valor inicial es:

\[\lim _{t \rightarrow 0^{+} \text {from } t>0} f(t) \equiv f\left(0^{+}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty}[s F(s)]\label{eqn:8.20} \]

En general, Ecuación\(\ref{eqn:8.20}\) da el valor inicial\(f\left(0^{+}\right)\) de una función de tiempo\(f(t)\) basada únicamente en la transformada de Laplace\(L[f(t)]=F(s)\), sin requerir que la ecuación para\(f(t)\) esté disponible. Si\(f(t)\) es la respuesta dinámica a la excitación que involucra la función unidad-impulso ideal\(\delta(t-0)\), entonces\(f\left(0^{+}\right)\) es el valor inicial post-impulso, como se define en la Sección 8.5; de lo contrario\(f\left(0^{+}\right) \equiv f(0) \equiv f\left(0^{-}\right)\), que es el valor inicial estándar que se sabe que existe antes de que ocurra la excitación.

Nuestra derivación del teorema del valor inicial (a partir de una prueba más detallada en Cannon, 1967, p. 569) se basa en la forma de transformación de Laplace que puede acomodar la función de impulso ideal\(\delta(t-0)\):

\[L[f(t)]=\int_{t=0^{-}}^{t=\infty} e^{-s t} f(t) d t\label{eqn:8.12} \]

Primero, necesitamos la siguiente transformada de Laplace de una derivada, la transformada que está asociada a la ecuación de definición\(\ref{eqn:8.12}\):

\[L\left[\frac{d}{d t} f(t)\right]=\int_{t=0^{-}}^{t=\infty} e^{-s t} \frac{d f}{d t} d t=s F(s)-f\left(0^{-}\right)\label{eqn:8.21} \]

La derivación de Ecuación\(\ref{eqn:8.21}\) usando integración por partes es casi idéntica a la derivación mostrada en la Ecuación 2.2.8, siendo la única diferencia el límite inferior de la integral en\(t = 0^-\) lugar de\(t = 0\). No necesitamos la fórmula correspondiente para las derivadas de orden superior en este momento, pero es apropiado aquí afirmar que las condiciones iniciales\(t = 0\) en la fórmula general Ecuación 2.2.10 pueden ser reemplazadas de manera similar por valores en\(t=0^-1\):

\[L\left[\frac{d^{n}}{d t^{n}} f(t)\right]=s^{n} F(s)-s^{n-1} f\left(0^{-}\right)-s^{n-2} \dot{f}\left(0^{-}\right)-\cdots-\overset{(n-1)}{f}\left(0^{-}\right)\label{eqn:8.22} \]

A continuación, tomando el límite de todos los términos en Ecuación\(\ref{eqn:8.21}\) como\(s \rightarrow \infty\) da

\[\lim _{s \rightarrow \infty} L\left[\frac{d f}{d t}\right]=\lim _{s \rightarrow \infty}\left(\int_{t=0^{-}}^{t=0^{+}} 1 \times \frac{d f}{d t} d t+\int_{t=0^{+}}^{t=\infty} e^{-s t} \frac{d f}{d t} d t\right)=\lim _{s \rightarrow \infty}[s F(s)]-f\left(0^{-}\right)\label{eqn:8.23} \]

En Ecuación\(\ref{eqn:8.23}\), separamos la integral definida en dos partes:

1. una parte en el intervalo de\(t=0^{-}\) a\(t=0^{+}\), durante la cual establecemos\(e^{-s t}=1\) (y durante la cual un impulso ideal incluyendo\(\delta(t-0)\) podría estar actuando); y
2. una parte en el intervalo de\(t=0^{+}\) a\(t=\infty\). El integrando de la segunda parte incluye\(e^{-s t}\), y desde entonces\(s \rightarrow \infty\), establecemos esta integral a cero:\(\lim _{s \rightarrow \infty} \int_{t=0^{+}}^{t=\infty} e^{-s t}(d f / d t) d t=0\). Además, la primera integral, que ahora es independiente de\(s\), se evalúa indenticamente como\(\int_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}(d f / d t) d t=f\left(0^{+}\right)-f\left(0^{-}\right)\). Por tanto, Ecuación\(\ref{eqn:8.23}\) se convierte

\[\lim _{s \rightarrow \infty} L\left[\frac{d f}{d t}\right]=f\left(0^{+}\right)-f\left(0^{-}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty}[s F(s)]-f\left(0^{-}\right)\label{eqn:8.24} \]

\[\Rightarrow \quad f\left(0^{+}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty}[s F(s)] \nonumber \]

Esta es la versión del teorema del valor inicial que se aplicó en la Sección 8.5 para volver a derivar el resultado Ecuación 8.5.8.

Si\(f(t)\) es una respuesta dinámica a la excitación que no implica una función ideal de unidad de impulso\(\delta(t-0)\), entonces no hay salto discontinuo a\(t=0\), es decir\(f\left(0^{+}\right)-f\left(0^{-}\right)=0\). Para este caso, por lo tanto, Ecuación\(\ref{eqn:8.24}\) da la versión más común (pero menos general) del teorema del valor inicial:

\[f\left(0^{-}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty}[s F(s)] \nonumber \]