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8.8: Respuesta al Impulso Ideal Versus Respuesta Real de Sistemas

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    84513
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    La sección 8.5 muestra que, para un sistema de primer orden sometido a excitación por una función de impulso ideal, el valor inicial post-impulso at\(t=0^{+}\) de salida\(x(t)\) difiere del valor inicial pre-impulso at\(t=0^{-}\). Investiguemos ahora los valores iniciales en\(x(t)\) y\(\dot{x}(t)\) que están asociados con el sistema de segundo orden de la Sección 8.7. La salida en sí viene dada por la Ecuación 8.7.3:\(x(t)=\left(\omega_{n} I_{U}+\dot{x}_{0} / \omega_{n}\right) \sin \omega_{n} t+x_{0} \cos \omega_{n} t, t \geq 0^{+}\),\(t \geq 0^{+}\). Evaluar esta ecuación en\(t=0^{+}\) muestra que el valor post-impulso es\(x\left(0^{+}\right)=x_{0}\); este es exactamente el mismo valor que el valor inicial dado at\(t=0^-\), por lo que no hay cambio discontinuo en el valor inicial de\(x(t)\) sí mismo para el sistema de segundo orden. La ecuación diferenciadora 8.7.3 da la función “velocidad”:

    \[\dot{x}(t)=\left(\omega_{n}^{2} I_{U}+\dot{x}_{0}\right) \cos \omega_{n} t-\omega_{n} x_{0} \sin \omega_{n} t, t \geq 0^{+}\label{eqn:8.29} \]

    Evaluando Ecuación\(\ref{eqn:8.29}\) en\(t=0^{+}\) da

    \[\dot{x}\left(0^{+}\right)=\omega_{n}^{2} I_{U}+\dot{x}_{0} \neq \dot{x}_{0}=\dot{x}\left(0^{-}\right)\label{eqn:8.30} \]

    Así, para el sistema de segundo orden, hay un cambio discontinuo en el valor inicial de la función “velocidad”.

    Los cambios discontinuos que observamos en los valores iniciales para los sistemas de primer y segundo orden violan las leyes físicas que rigen los sistemas reales, por lo que las soluciones ideales de respuesta al impulso parecen ser defectuosas y quizás no aplicables a los sistemas reales. La razón de esta defectuosidad es la naturaleza ideal, no real, de la función delta de Dirac\(\delta(t)\). En la realidad física, no existe tal cosa como un pulso de duración infinitamente corta e infinitamente grande magnitud; así\(\delta(t)\) y\(I_{U} \delta(t)\) son funciones matemáticas que no representan exactamente ninguna cantidad física real.

    Sin embargo, las respuestas de impulso ideales que encontramos aún pueden ser útiles en aplicaciones a sistemas reales, ya que la función de impulso ideal\(I_{U} \delta(t)\) puede aproximarse al efecto de un pulso real, limitado en el tiempo que tiene la misma magnitud de impulso,\(I_{U}\); por lo tanto, el impulso ideal la respuesta puede aproximarse a la respuesta física real. ¿Por qué usaríamos la respuesta de impulso ideal aproximada en lugar de simplemente determinar la solución de respuesta más precisa basada en el pulso real? Lo haríamos porque siempre es mucho más fácil derivar y calcular la respuesta de impulso ideal que la respuesta de pulso real; además, la ecuación para la respuesta de impulso ideal siempre es más simple y más susceptible a fines prácticos (como la identificación del sistema, una forma de la cual es discutida en la Sección 9.9) que la (s) ecuación (es) para la respuesta de pulso real.

    ¿Cuándo es la respuesta de impulso ideal una buena aproximación de la respuesta de pulso real, y cuándo no es así? Depende de la duración del pulso\(t_d\) de entrada real en relación con el tiempo característico más corto\(T_c\) del sistema que se está analizando. El tiempo característico se define vagamente como el intervalo de tiempo requerido para que la respuesta del sistema cambie sustancialmente. Los tiempos característicos del sistema que conocemos de capítulos anteriores son constantes de tiempo\(\tau_{1}\) para un sistema de primer orden y aproximadamente una cuarta parte de un período natural\(T_{n}\) para un sistema de segundo orden. Si\(t_d\) es breve en relación con el tiempo característico del sistema\(t_{d}<<T_{c}\), entonces la respuesta de impulso ideal [Ecuación 8.5.4 para un sistema de primer orden estable estándar, Ecuación 8.7.3 para un sistema de segundo orden no amortiguado estándar, otras ecuaciones para otros tipos de sistemas] será una buena aproximación a la respuesta del pulso real; por otro lado, si\(t_d\) es del orden o mayor que el tiempo característico del sistema\(\mathrm{O}\left(t_{d}\right) \geq \mathrm{O}\left(T_{c}\right)\), entonces la respuesta impulsiva ideal sería una aproximación pobre, y deberíamos resolver para la respuesta usando el físico real pulso. No existe una regla dura y rápida sobre cuán pequeña\(t_{d} / T_{c}\) debe ser la proporción para justificar el uso de la solución ideal de respuesta al impulso.

    ¿De qué manera diferiría la respuesta de impulso ideal de la respuesta de pulso real? Consideremos, por ejemplo, un sistema de segundo orden sin amortiguar con cero CI. Supongamos que la duración del pulso real satisface\(t_{d}<<1 / 4 T_{n}\), de manera que, según la discusión anterior, la respuesta impulsiva ideal debería ser una buena aproximación a la respuesta real. Pero ya sabemos por Ecuación\(\ref{eqn:8.30}\) que la velocidad inicial de la respuesta impulsiva ideal será incorrecta, con valor\(\omega_{n}^{2} I_{U}\) cuando debería ser cero. ¿Cómo se comparará el resto de la respuesta de impulso ideal con la respuesta real? La figura\(\PageIndex{1}\) representa conceptualmente la naturaleza tanto de la respuesta de impulso ideal como de la respuesta real comparable para un sistema de segundo orden durante la porción inicial de la respuesta. La respuesta real muestra la pendiente cero inicial correcta,\(\dot{x}_{0}=0\). Por un breve periodo posterior\(t = 0\), la pendiente de respuesta real aumenta rápidamente hasta que tanto la respuesta\(x\) como la pendiente coinciden\(\dot{x}\) esencialmente con los valores comparables de la respuesta ideal, pero con un breve lapso de tiempo relativo a la respuesta ideal. En otras palabras, la respuesta ideal tiene un plazo corto y artificial relativo a la respuesta real. Después de que termina el pulso\(t_{d}<t\),, la respuesta real es esencialmente idéntica a la respuesta ideal, pero la respuesta ideal mantiene el mismo tiempo artificial para toda la respuesta dinámica restante. Si la duración del pulso es muy corta en relación con el cuarto de período del sistema, entonces el plazo artificial será muy pequeño, tal vez ni siquiera detectable en una gráfica de la respuesta. En este caso, la respuesta de impulso ideal será claramente una excelente aproximación a la respuesta real, y la respuesta de impulso ideal será mucho más fácil de derivar y calcular la respuesta real.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Respuesta de impulso ideal conceptual y respuesta de pulso real para un sistema de segundo orden no amortiguado

    Obsérvese que el párrafo anterior aplica específicamente para un sistema de segundo orden, pero no necesariamente para otros tipos de sistemas. En particular, para un sistema de primer orden, las diferencias entre una respuesta de pulso real y la respuesta de impulso ideal aproximada tienen un carácter diferente (ver, por ejemplo, tarea Problema 8.5).


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