8.9: Función Unit-Step-Response e IRF

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Del Capítulo 4, Ecuación 4.6.4, la ecuación general que relaciona la transformada de Laplace de salida con la transformada de entrada a través de la función de transferencia del sistema es

\[\left.L[x(t)]\right|_{I C s=0}=T F(s) \times L[u(t)]\label{eqn:8.31} \]

\(\ref{eqn:8.31}\)La ecuación es válida para cualquier sistema LTI SISO. Supongamos que la entrada a dicho sistema es la función de unidad -paso,\(u(t)=U H(t)\) con magnitud de paso\(U\) = 1:

\[u(t)=H(t) \quad \Rightarrow \quad \text { from Equation }2.4.5, \quad L[u(t)]=L[H(t)]=\frac{1}{s}\label{eqn:8.32} \]

Denotamos la función unidad-paso-respuesta como\(x_{H}(t)\): como es habitual para la respuesta unidad-paso y la respuesta de impulso de unidad, especificamos CI cero. Sustituir la ecuación\(\ref{eqn:8.32}\) en ecuación\(\ref{eqn:8.31}\) da

\[L\left[x_{H}(t)\right]=T F(s) \times \frac{1}{s}\label{eqn:8.33} \]

A continuación, supongamos que la entrada es la función ideal de unidad -impulso,\(u(t)=I_{U} \delta(t)\) con magnitud de impulso\(I_{U}=1\):

\[u(t)=\delta(t) \quad \Rightarrow \quad \text { from Eq. }(8.4.6), \quad L[u(t)]=L[\delta(t)]=1\label{eqn:8.34} \]

Denotamos la función unidad-impulso-respuesta, con cero CI, as\(h(t)\), y abreviamos esta importante función en el texto como IRF ¹. Sustituir la ecuación\(\ref{eqn:8.34}\) en ecuación\(\ref{eqn:8.31}\) da

\[L[h(t)]=T F(s) \times 1 \equiv T F(s)\label{eqn:8.35} \]

\(\ref{eqn:8.35}\)La ecuación es una relación importante en la teoría de sistemas lineales: La transformada de Laplace de la función unidad-impulso-respuesta (IRF) es igual a la función de transferencia (TF).

Comparando ecuaciones\(\ref{eqn:8.32}\) y\(\ref{eqn:8.34}\) muestra que

\[s L[H(t)]=L[\delta(t)]\label{eqn:8.36} \]

A continuación, aplicando la Ecuación 8.6.3, con\(H\left(0^{-}\right)=0\), luego Ecuación\(\ref{eqn:8.36}\), da

\[s L[H(t)]=L\left[\frac{d H}{d t}(t)\right]+H\left(0^{-}\right)=L\left[\frac{d H}{d t}(t)\right]=L[\delta(t)]\label{eqn:8.37} \]

Así, inferimos de la Ecuación\(\ref{eqn:8.37}\) que

\[\frac{d H}{d t}(t)=\delta(t)\label{eqn:8.38} \]

También podemos derivar la Ecuación\(\ref{eqn:8.38}\) formalmente diferenciando con respecto al tiempo\(t\) la siguiente forma específica de la Ecuación 8.4.4:\(H(t-0)=\int_{\tau=0^{-}}^{\tau=t>0} \delta(\tau-0) d \tau\). Expresado en palabras, la derivada de tiempo de la función unidad-paso es la función unidad-impulso. Estas derivaciones de Ecuación no\(\ref{eqn:8.38}\) son matemáticamente rigurosas, y el resultado puede parecer inverosímil ya que ambas\(H(t)\) y\(\delta(t)\) son funciones fuertemente discontinuas. Sin embargo, la ecuación se\(\ref{eqn:8.38}\) puede probar con la teoría de las funciones generalizadas (Lighthill, 1958), y también se puede demostrar plausibilidad con el uso de procesos limitantes en funciones distintas al impulso plano de la Sección 8.3 (por ejemplo, tarea Problema 8.6).

Comparando ecuaciones\(\ref{eqn:8.33}\) y\(\ref{eqn:8.35}\) muestra que

\[T F(s)=s L\left[x_{H}(t)\right]=L[h(t)]\label{eqn:8.39} \]

Aplicando nuevamente la Ecuación 8.6.3, con\(x_{H}\left(0^{-}\right)=0\) por definición, da

\[\frac{d x_{H}}{d t}(t)=h(t)\label{eqn:8.40} \]

En palabras, la velocidad de respuesta unidad-paso es igual a la respuesta unidad-impulso. La ecuación\(\ref{eqn:8.40}\) para respuestas (salidas) es directamente análoga a la ecuación\(\ref{eqn:8.38}\) para excitaciones (entradas). La forma idéntica de las dos ecuaciones es consecuencia de la linealidad del sistema. \(\ref{eqn:8.40}\)La ecuación es otra relación importante en la teoría de sistemas lineales, para lo cual tendremos una aplicación conveniente en la Sección 9.8.