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8.10: La Convolución Integral como Superposición de Respuestas de Impulso Ideal

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    Supongamos que un sistema LTI tiene cero ICs y que la entrada es una función físicamente realista arbitraria,\(u(t)\) para\(t>0\). Apliquemos directamente el principio de superposición para derivar una ecuación de respuesta\(x(t)\) en algún instante arbitrario del tiempo\(t > 0\). En cualquier instante\(\tau\) menor que\(t\),\(0<\tau<t\), la entrada\(u(\tau)\) impone al sistema un impulso de magnitud diferencialmente pequeño\(d I_{U}=u(\tau) d \tau\), como se indica conceptualmente en la figura de abajo.Entonces la respuesta diferencialmente pequeña en el momento\(t>\tau\) debido a este impulso en\(\tau\) es \(d x(t)=d I_{U} \times h(t-\tau)=u(\tau) h(t-\tau) d \tau\), en la que\(h(t-\tau)\) se encuentra el IRF debido a un impulso unitario que actúa al instante\(\tau\). Debido a que este sistema es lineal, podemos expresar la respuesta total como la superposición de respuestas debido a todas las entradas separadas, como se indica en la Sección 1.2. En este caso, hay un número infinito de instantes\(\tau\) entre el tiempo cero y el tiempo\(t\), por lo que la superposición, o suma, se convierte en una integral definida:

    \[\left.x(t)\right|_{I C s=0}=\int_{\tau=0}^{\tau=t} d x(t)=\int_{\tau=0}^{\tau=t} u(\tau) h(t-\tau) d \tau\label{eqn:8.41} \]

    Ecuaciones como Ecuación\(\ref{eqn:8.41}\) y sus versiones para sistemas específicos [con funciones explícitas para\(h(t-\tau)\)] a menudo se denominan integrales de Duhamel (después de Jean-Marie Duhamel, 1797-1872, rench matemático y físico), especialmente en la literatura de dinámica estructural (por ejemplo, C F raig, 1981, p. 124).

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    La ecuación (8-41) es general, válida para cualquier sistema LTI. Para ver una aplicación específica, volvamos a visitar el sistema estándar de orden 2 nd sin amortiguar. Con\(I_{U}=1\), la Ecuación 8.7.3 da el IRF como\(h(t)=\omega_{n} \sin \omega_{n} t\), así que la Ecuación\(\ref{eqn:8.41}\) se convierte

    \[\left.x(t)\right|_{I C s=0}=\omega_{n} \int_{\tau=0}^{\tau=t} u(\tau) \sin \omega_{n}(t-\tau) d \tau\label{eqn:8.42} \]

    La ecuación\(\ref{eqn:8.42}\) es la solución de respuesta integral de Duhamel para el sistema estándar de segundo orden sin amortiguar, y es idéntica a la solución de respuesta integral de convolución Ecuación 7.2.5 con cero CI. Recordemos que la Ecuación 7.2.5 se derivó principalmente de las matemáticas de integrales de convolución y se transforma en el Capítulo 6. Por otro lado, la derivación de la Ecuación\(\ref{eqn:8.42}\) anterior es principalmente física, basada en el IRF y el principio de superposición para sistemas lineales.


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