9.3: Solución general para sistemas de segundo orden con poca amortiguación
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Queremos resolver la Ecuación 9.2.2 para la salida\(x(t)\) durante el tiempo positivo\(t>0\), dada cualquier entrada\(u(t)\), y dadas las condiciones iniciales apropiadas en\(t = 0\). Utilizaremos la transformación de Laplace con la aplicación de la transformada de convolución inversa. Para simplificar la notación, denotemos\(X(s) \equiv L[x(t)]\). Transformar la Ecuación 9.2.2 con el uso de la Ecuación 2.2.11 da
\[s^{2} X(s)-s x(0)-\dot{x}(0)+2 \zeta \omega_{n}[s X(s)-x(0)]+\omega_{n}^{2} X(s)=\omega_{n}^{2} L[u(t)] \nonumber \]
Denotamos las dos condiciones\(x_{0} \equiv x(0)\) iniciales, “posición”\(\dot{x}_{0} \equiv \dot{x}(0)\) inicial y “velocidad” inicial. Recopilar términos algebraicamente y reorganizar la ecuación da
Tenga en cuenta que hasta este punto en la derivación, no se ha puesto ninguna restricción en el valor de la relación de amortiguación\(\zeta\).
Para\(\ref{eqn:9.14}\) convertir Ecuación en una forma fácilmente solucionable, utilizamos dos trucos algebraicos que no son obvios a priori. El primer truco es reescribir el término cuadrático del lado izquierdo [que, esencialmente, es el mismo que el término cuadrático en la ecuación característica 9.1.4]:
Lo consideraremos\(\omega_{d}^{2}\) como un parámetro positivo en lo siguiente, por lo que la ecuación\(\ref{eqn:9.15}\) es nominalmente válida solo para un sistema subamortiguado (\(0 \leq \zeta<1\)). El segundo truco es dividir en una forma particular los términos IC en el lado derecho de la ecuación\(\ref{eqn:9.14}\):
Aplicando Ecuaciones\(\ref{eqn:9.15}\) y\(\ref{eqn:9.16}\) a Ecuación\(\ref{eqn:9.14}\), luego resolviendo para\(X(s)\) da:
La motivación para lanzar la solución a la forma Ecuación\(\ref{eqn:9.17}\) es un par de transformación general relevante de Laplace que no ha aparecido previamente en este libro: dada una función\(f(t)\), su transformada de Laplace\(F(s)\), y la función exponencial\(e^{\sigma t}\), donde\(\sigma\) es una constante, luego la Laplace transforma del producto\(e^{\sigma t} f(t)\) es
La transformada inversa asociada es
\[L^{-1}[F(s-\sigma)]=e^{\sigma t} f(t)\label{eqn:9.19} \]
Volviendo a la Ecuación\(\ref{eqn:9.17}\), identificamos\(\sigma=-\zeta \omega_{n}\) e invertimos los dos términos de respuesta IC usando Ecuación\(\ref{eqn:9.19}\) junto con las transformadas de seno y coseno Ecuación 2.4.7 y Ecuación 2.4.8. Para invertir el término de respuesta forzada, aplicamos tanto Ecuación como la ecuación\(\ref{eqn:9.19}\) de transformación de convolución inversa Ecuación 6.1.5. Esto conduce a las dos ecuaciones generales equivalentes para\(x(t)\) la salida de un sistema de segundo orden amortiguado:
Tenga en cuenta el énfasis que las ecuaciones\(\ref{eqn:9.20a}\) y\(\ref{eqn:9.20b}\) son válidas para sistemas con poca amortiguación. Esta solución nominalmente no es válida para sistemas sobreamortiguados, aunque veremos en la Sección 9.10 que se puede convertir fácilmente. La restricción nominal a los sistemas subamortiguados se deriva del uso de las transformaciones sinusoidales Ecuación 2.4.7 y Ecuación 2.4.8, las cuales son válidas en este caso solo para positivas\(\omega_{d}^{2}\), que se mantienen sólo si\(0 \leq \zeta<1\), a partir de la Ecuación 9.1.12. Por ejemplo, se utilizó la transformada inversa\(L^{-1}\left[\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\right]=\sin \omega t\), válida para\(\omega^{2}>0\), para encontrar Ecuaciones\(\ref{eqn:9.20a}\) y\(\ref{eqn:9.20b}\), pero la siguiente transformada se mantiene para un término negativo en el denominador:\(L^{-1}\left[\frac{\omega}{s^{2}-\omega^{2}}\right]= \sinh \omega t\), un seno hiperbólico.