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9.3: Solución general para sistemas de segundo orden con poca amortiguación

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    84653
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    Queremos resolver la Ecuación 9.2.2 para la salida\(x(t)\) durante el tiempo positivo\(t>0\), dada cualquier entrada\(u(t)\), y dadas las condiciones iniciales apropiadas en\(t = 0\). Utilizaremos la transformación de Laplace con la aplicación de la transformada de convolución inversa. Para simplificar la notación, denotemos\(X(s) \equiv L[x(t)]\). Transformar la Ecuación 9.2.2 con el uso de la Ecuación 2.2.11 da

    \[s^{2} X(s)-s x(0)-\dot{x}(0)+2 \zeta \omega_{n}[s X(s)-x(0)]+\omega_{n}^{2} X(s)=\omega_{n}^{2} L[u(t)] \nonumber \]

    Denotamos las dos condiciones\(x_{0} \equiv x(0)\) iniciales, “posición”\(\dot{x}_{0} \equiv \dot{x}(0)\) inicial y “velocidad” inicial. Recopilar términos algebraicamente y reorganizar la ecuación da

    \[\left(s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}\right) X(s)=\left(s+2 \zeta \omega_{n}\right) x_{0}+\dot{x}_{0}+\omega_{n}^{2} L[u(t)]\label{eqn:9.14} \]

    Tenga en cuenta que hasta este punto en la derivación, no se ha puesto ninguna restricción en el valor de la relación de amortiguación\(\zeta\).

    Para\(\ref{eqn:9.14}\) convertir Ecuación en una forma fácilmente solucionable, utilizamos dos trucos algebraicos que no son obvios a priori. El primer truco es reescribir el término cuadrático del lado izquierdo [que, esencialmente, es el mismo que el término cuadrático en la ecuación característica 9.1.4]:

    \[s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}=\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{n}^{2}-\left(\zeta \omega_{n}\right)^{2}=\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}\label{eqn:9.15} \]

    Lo consideraremos\(\omega_{d}^{2}\) como un parámetro positivo en lo siguiente, por lo que la ecuación\(\ref{eqn:9.15}\) es nominalmente válida solo para un sistema subamortiguado (\(0 \leq \zeta<1\)). El segundo truco es dividir en una forma particular los términos IC en el lado derecho de la ecuación\(\ref{eqn:9.14}\):

    \[\left(s+2 \zeta \omega_{n}\right) x_{0}+\dot{x}_{0}=\left(s+\zeta \omega_{n}\right) x_{0}+\left(\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}\right)\label{eqn:9.16} \]

    Aplicando Ecuaciones\(\ref{eqn:9.15}\) y\(\ref{eqn:9.16}\) a Ecuación\(\ref{eqn:9.14}\), luego resolviendo para\(X(s)\) da:

    \[X(s)=\frac{s+\zeta \omega_{n}}{\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}} x_{0}+\frac{\omega_{d}}{\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}}\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{\omega_{d}}\right)+\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}}\overbrace{\frac{\omega_{d}}{\left(s+\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}}}^{F_{1}(s)}\overbrace{L[u(t)]}^{F_{2}(s)}\label{eqn:9.17} \]

    La motivación para lanzar la solución a la forma Ecuación\(\ref{eqn:9.17}\) es un par de transformación general relevante de Laplace que no ha aparecido previamente en este libro: dada una función\(f(t)\), su transformada de Laplace\(F(s)\), y la función exponencial\(e^{\sigma t}\), donde\(\sigma\) es una constante, luego la Laplace transforma del producto\(e^{\sigma t} f(t)\) es

    \[L\left[e^{\sigma t} f(t)\right]=\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} e^{\sigma t} f(t) d t=\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-(s-\sigma) t} f(t) d t \equiv F(s-\sigma)\label{eqn:9.18} \]

    La transformada inversa asociada es

    \[L^{-1}[F(s-\sigma)]=e^{\sigma t} f(t)\label{eqn:9.19} \]

    Volviendo a la Ecuación\(\ref{eqn:9.17}\), identificamos\(\sigma=-\zeta \omega_{n}\) e invertimos los dos términos de respuesta IC usando Ecuación\(\ref{eqn:9.19}\) junto con las transformadas de seno y coseno Ecuación 2.4.7 y Ecuación 2.4.8. Para invertir el término de respuesta forzada, aplicamos tanto Ecuación como la ecuación\(\ref{eqn:9.19}\) de transformación de convolución inversa Ecuación 6.1.5. Esto conduce a las dos ecuaciones generales equivalentes para\(x(t)\) la salida de un sistema de segundo orden amortiguado:

    \[x(t) = \overbrace{e^{-\zeta \omega_{n} t}\left[x_{0} \cos \omega_{d} t+\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{\omega_{d}}\right) \sin \omega_{d} t\right.}^{\text{IC response}} + \overbrace{\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \int_{\tau=0}^{\tau=t} e^{-\zeta \omega_{n} \tau} \sin \omega_{d} \tau \times u(t-\tau) d \tau}^{\text{forced response}}\label{eqn:9.20a} \]

    \[x(t)=e^{-\zeta \omega_{n} t}\left[x_{0} \cos \omega_{d} t+\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{\omega_{d}}\right) \sin \omega_{d} t\right]+\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \int_{\tau=0}^{\tau=t} e^{-\zeta \omega_{n}(t-\tau)} \sin \omega_{d}(t-\tau) \times u(\tau) d \tau\label{eqn:9.20b} \]

    Tenga en cuenta el énfasis que las ecuaciones\(\ref{eqn:9.20a}\) y\(\ref{eqn:9.20b}\) son válidas para sistemas con poca amortiguación. Esta solución nominalmente no es válida para sistemas sobreamortiguados, aunque veremos en la Sección 9.10 que se puede convertir fácilmente. La restricción nominal a los sistemas subamortiguados se deriva del uso de las transformaciones sinusoidales Ecuación 2.4.7 y Ecuación 2.4.8, las cuales son válidas en este caso solo para positivas\(\omega_{d}^{2}\), que se mantienen sólo si\(0 \leq \zeta<1\), a partir de la Ecuación 9.1.12. Por ejemplo, se utilizó la transformada inversa\(L^{-1}\left[\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\right]=\sin \omega t\), válida para\(\omega^{2}>0\), para encontrar Ecuaciones\(\ref{eqn:9.20a}\) y\(\ref{eqn:9.20b}\), pero la siguiente transformada se mantiene para un término negativo en el denominador:\(L^{-1}\left[\frac{\omega}{s^{2}-\omega^{2}}\right]= \sinh \omega t\), un seno hiperbólico.


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