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9.6: Respuesta escalonada de sistemas de segundo orden subamortiguados

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    Para la respuesta de paso, establecemos los CI en cero, y definimos la entrada para que sea una función de paso en el momento\(t = 0\), con magnitud de paso\(U\):\(u(t)=U H(t)\). La forma apropiada de la solución general a utilizar es la Ecuación 9.3.8, que se convierte en [con\(H(t-\tau)=1\) para\(\tau<t\)]

    \[x(t)=\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \int_{\tau=0}^{\tau=t} e^{-\zeta \omega_{n} \tau} \sin \omega_{d} \tau \times u(t-\tau) d \tau=\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \int_{\tau=0}^{\tau=t} e^{-\zeta \omega_{n} \tau} \sin \omega_{d} \tau \times U H(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    \[=U \frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \int_{\tau=0}^{\tau=t} e^{-\zeta \omega_{n} \tau} \sin \omega_{d} \tau d \tau \nonumber \]

    Esta integral puede ser evaluada a mano (por ejemplo, usando integración por partes), pero el proceso es tedioso. Se realizó la siguiente evaluación con el uso de una tabla de integrales:

    \[x(t)=U \frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \frac{1}{\left(-\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\omega_{d}^{2}}\left[e^{-\zeta \omega_{n} \tau}\left(-\zeta \omega_{n} \sin \omega_{d} \tau-\omega_{d} \cos \omega_{d} \tau\right)\right]_{\tau=0}^{\tau=t} \nonumber \]

    \[=U \frac{1}{\omega_{d}}\left[e^{-\zeta \omega_{n} t}\left(-\zeta \omega_{n} \sin \omega_{d} t-\omega_{d} \cos \omega_{d} t\right)-1\left(-\omega_{d}\right)\right] \nonumber \]

    \[x(t)=U\left[1-e^{-\zeta \omega_{n} t}\left(\cos \omega_{d} t+\frac{\zeta \omega_{n}}{\omega_{d}} \sin \omega_{d} t\right)\right], \text { for } 0 \leq t \text { and } 0 \leq \zeta<1\label{eqn:9.29} \]

    Tenga en cuenta que el coeficiente de\(\sin \omega_{d} t\) en Ecuación\(\ref{eqn:9.29}\) depende solo de la relación de amortiguación:

    \[\frac{\zeta \omega_{n}}{\omega_{d}}=\frac{\zeta \omega_{n}}{\omega_{n} \sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\zeta_{s} \nonumber \]

    Respuesta escalonada La ecuación\(\ref{eqn:9.29}\) para la relación de amortiguación pequeña\(\zeta=0.11\) se representa a lo largo de unos pocos ciclos de respuesta en la Figura\(\PageIndex{1}\). En relación con la respuesta pseudo-estática,\(x_{p s}=U\), la respuesta escalonada real de un sistema amortiguado inicialmente se sobrepasa, luego se rebaja, luego vuelve a rebasar, luego vuelve a rebasar, etc., etc., etc., pero la amortiguación disipa la energía de la vibración, provocando la respuesta eventualmente (no se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\)) para asentarse estáticamente en\(\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=x_{p s}=U\). Varias características de respuesta escalonada (llamadas especificaciones, o especificaciones en jerga de ingeniería) de un sistema pueden cuantificarse y a menudo son de gran interés en la práctica. Por ejemplo, el tiempo de subida es el tiempo requerido para que la respuesta primero alcance\(U\), que en la Figura\(\PageIndex{1}\) es apenas un poco más larga que\(\frac{1}{2} \pi / \omega_{n}\). Sin embargo, antes de estudiar esas características con más detalle, es apropiado que primero consideremos la respuesta al impulso.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Respuesta escalonada de un sistema de segundo orden amortiguado,\(\zeta=0.11\)

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