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9.7: Respuesta de Impulso Ideal de Sistemas de Segundo Orden Inamortiguados

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    Para la respuesta al impulso, establecemos los CI en cero, y definimos la entrada para que sea un impulso ideal en el momento\(t = 0\), con magnitud de impulso\(I_{U}\):\(u(t)=I_{U} \delta(t)\). La forma más apropiada de la solución general a utilizar es la Ecuación 9.3.9, la cual se convierte

    \[x(t)=\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \int_{\tau=0}^{\tau=t} e^{-\zeta \omega_{n}(t-\tau)} \sin \omega_{d}(t-\tau) \times u(\tau) d \tau=\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \int_{\tau=0}^{\tau=t} e^{-\zeta \omega_{n}(t-\tau)} \sin \omega_{d}(t-\tau) \times I_{U} \delta(\tau) d \tau \nonumber \]

    Usando la propiedad de integración de\(\delta(\tau)\), Ecuación 8.4.4, encontramos el resultado relativamente simple:

    \[x(t)=I_{U} \frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} e^{-\zeta \omega_{n} t} \sin \omega_{d} t, \text { for } 0<t \text { and } 0 \leq \zeta<1\label{eqn:9.30} \]

    Respuesta al impulso ideal La ecuación\(\ref{eqn:9.30}\) para la relación de amortiguación pequeña\(\zeta= 0.11\) se representa a lo largo de unos pocos ciclos de respuesta en la Figura\(\PageIndex{1}\). Observe que esta respuesta ideal viola la condición inicial especificada\(\dot{x}(0)=0\); así, la solución es defectuosa al respecto, como se discute en la Sección 8.7. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra la envolvente exponencial; nota, en particular, los valores at\(t = 0\) de la envolvente exponencial,\(\pm I_{U} \omega_{n}^{2} / \omega_{d}\). Esta magnitud es fácilmente medible a partir de una gráfica, después de haber esbozado en la envolvente exponencial, si es necesario, y es esencial en el proceso de estimación de parámetros mecánicos del sistema a partir de una respuesta experimental a un pulso de fuerza corta (Sección 9.9).

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Respuesta de impulso ideal de un sistema amortiguado de segundo orden,\(\zeta = 0.11\)

    A partir de la Ecuación de Ecuación\(\ref{eqn:9.30}\), encontramos la función unidad-impulso-respuesta (IRF, como se define en la Sección 8.7) para sistemas de segundo orden amortiguados:

    \[\left.h(t) \equiv x(t)\right|_{I_{U}=1}=\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} e^{-\zeta \omega_{n} t} \sin \omega_{d} t, \text { for } 0<t \text { and } 0 \leq \zeta<1\label{eqn:9.31} \]

    Además, a partir de la Ecuación 8.7.2, encontramos la integral Duhamel dando respuesta general a la entrada\(u(t)\), con CI cero, para sistemas de segundo orden subamortiguados:

    \[\left.x(t)\right|_{I C s=0}=\int_{\tau=0}^{\tau=t} u(\tau) h(t-\tau) d \tau=\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}} \int_{\tau=0}^{\tau=t} u(\tau) e^{-\zeta \omega_{n}(t-\tau)} \sin \omega_{d}(t-\tau) d \tau\label{eqn:9.32} \]

    \(\ref{eqn:9.32}\)La ecuación integral de Duhamel es idéntica a la solución de convolución-respuesta integral Ecuación 9.3.9 con cero CI.

    Por último, cabe mencionar que la suma de convolución Ecuación 8.11.4 para la respuesta forzada numérica aproximada se aplica tan bien a los sistemas amortiguados de segundo orden como a los sistemas de primer orden y de segundo orden sin amortiguar. Por lo tanto, para calcular la respuesta forzada aproximada de un sistema de segundo orden subamortiguado, aplicaremos exactamente el mismo procedimiento descrito en Convolución-suma Ejemplo 2 de la Sección 8.11, pero en lugar de calcular en la Ecuación 8.11.4 el IRF\(h(t)=\omega_{n} \sin \omega_{n} t\) para un sistema sin amortiguar, calcularíamos Ecuación\(\ref{eqn:9.31}\).


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