9.9: Identificación de un Sistema Masa-Amortiguador-Muelle

Supongamos que tenemos un sistema mecánico que se sabe que es un\(k\) sistema\(m\)\(c\) - - (o una aproximación lo suficientemente cercana al mismo, para fines de ingeniería), como el de la Figura 9.1.1, y supongamos que necesitamos estimar a partir de mediciones experimentales los parámetros del sistema: masa\(m\), efectivo constante\(c\) de amortiguación viscosa y constante de rigidez\(k\). Esta es una forma del proceso conocida generalmente como identificación del sistema (ID). Existen muchos métodos de identificación del sistema que utilizan tanto la respuesta transitoria como la respuesta de frecuencia. En esta sección, ilustramos un método común basado en la respuesta de pulso.

La base teórica para la ID del sistema mediante pruebas de pulso de un\(k\) sistema mecánico\(m\) es la respuesta de impulso ideal dada por la Ecuación 9.7.2, con el uso de la Ecuación 8.4.6\(I_{U}=I_{F} / k\), y la ecuación para la frecuencia natural,\(\omega_{n}^{2}=k / m\):\(c\)

\[x(t)=\frac{I_{F}}{k} \frac{k / m}{\omega_{d}} e^{-\zeta \omega_{n} t} \sin \omega_{d} t=\frac{I_{F}}{m \omega_{d}} e^{-\zeta \omega_{n} t} \sin \omega_{d} t\label{eqn:9.41} \]

Del mismo modo, los valores en\(t = 0\) de los límites superior e inferior de la envolvente exponencial (para orientación, ver Figura 9.7.1) son

\[\pm I_{U} \frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{d}}=\pm \frac{I_{F}}{m \omega_{d}}\label{eqn:9.42} \]

La implementación práctica de estas ecuaciones se basa en su uso para aproximar la respuesta real de un pulso de fuerza corta, como se discute extensamente en la Sección 8.6.

El procedimiento experimental es el siguiente. Un ingeniero o técnico golpea la masa ligeramente pero bruscamente con un martillo especialmente diseñado. Un sensor de fuerza montado en la cabeza del martillo mide el pulso. Un sensor de desplazamiento mide el movimiento de la masa debido al pulso de fuerza. Para la precisión del ID del sistema, es esencial que la duración\(t_d\) del pulso del golpe de martillo sea muy corta en relación con una cuarta parte del período natural del sistema:\(t_{d}<<1 / 4 T_{n}\); lograr esto podría requerir alguna iteración experimental, probando puntas de contacto del martillo de diferentes grados de dureza. Se registra el historial temporal\(t_f(x)\) de entrada de fuerza a la masa; este pulso de fuerza puede ser algo irregular, como la Figura 8.5, o podría parecer tener una forma más regular, como un medio seno. También se registra el historial temporal de respuesta de desplazamiento; con una duración de pulso adecuadamente corta, la respuesta\(x(t)\) debe parecerse mucho a la sinusoide amortiguada de la Fig. 9.7.1, respuesta de impulso ideal.\(x(t)\) Los pasos del algoritmo de cálculo posterior son:

1. Calcular a partir de las mediciones en la\(x(t)\) gráfica la frecuencia natural amortiguada\(f_d\) (Hz) y la relación de amortiguación viscosa\(\zeta\). Para obtener valores razonablemente precisos de\(f_d\) y\(\zeta\), asegúrese de promediar en tantos ciclos como sea posible de la sinusoide amortiguada. Para ayudar en el cálculo de\(\zeta\), primer boceto en la envolvente exponencial. A continuación, utilice los valores de\(f_d\) y\(\zeta\) para calcular las dos frecuencias naturales circulares en rad/s:\(\omega_{d}=2 \pi f_{d}\) y\(\omega_{n}=\omega_{d} / \sqrt{1-\zeta^{2}}\). Para pequeños\(\zeta\), estas dos frecuencias serán esencialmente idénticas.
2. A partir de la\(f_{x}(t)\) gráfica, utilice la integración teórica gráfica o aproximada para calcular el impulso de fuerza real\(I_F\). De la\(x(t)\) gráfica, encuentre el valor at\(t = 0\) de los límites superior e inferior de la envolvente exponencial, que son aproximadamente\(\pm I_{F} / m \omega_{d}\) de la Ecuación\(\ref{eqn:9.42}\). Es importante en este paso tener mucho cuidado con las unidades de estas cantidades medidas a partir de datos experimentales. Ahora, tienes los datos requeridos para calcular la masa a partir de la identidad \[m=\left[\omega_{d} \times \frac{1}{I_{F}} \times \frac{I_{F}}{m \omega_{d}}\right]^{-1}\label{eqn:9.43} \]
3. Finalmente, calcule la constante de rigidez usando\(k=m \omega_{n}^{2}\), y calcule la constante de amortiguación viscosa efectiva a partir de la Ecuación 9.1.6,\(c=2 \zeta m \omega_{n}=2 \zeta \sqrt{m k}\).

Siempre es esencial en la práctica de ingeniería verificar sus cálculos tanto como sea práctico. Después de haber calculado\(m\) -\(c\) -\(k\) a partir del procedimiento descrito anteriormente, puede verificar la validez de sus valores utilizando MATLAB (o algún software de cálculo similar) para graficar la respuesta de impulso ideal de su sistema calculado, Ecuación\(\ref{eqn:9.41}\); luego comparar la gráfica calculada con la respuesta experimental registrada. Si las dos gráficas son muy similares, entonces su ID de sistema probablemente sea correcta, siempre que haya calculado\(I_F\) correctamente. Sin embargo, supongamos que usa un valor incorrecto de\(I_F\), luego calcule los valores incorrectos de\(m\)\(c\) - -\(k\) en base a este error\(I_F\); si luego grafica la respuesta de impulso ideal, usando estos valores incorrectos en la Ecuación\(\ref{eqn:9.41}\), el resultado se parecerá mucho al registrado respuesta experimental, lo que le da una indicación falsa de que su ID de sistema es correcta. Por lo tanto, asegúrese de calcular correctamente el impulso de fuerza\(I_F\).